Twierdzenie Casey'a czy ktoś z Was zetknął się może z tym twierdzeniem i mógłby mi je wytłumaczyć.
Niestety twierdzenia tego nie ma nigdzie w internecie w języku polskim, a z sformułowania po angielsku nie za dużo rozumiem
Gdyby ktoś wiedział o co chodzi to byłbym wdzięczny za każdą pomoc
Tutaj podaje linka do angielskiej Wikipedii gdzie jest to twierdzenie w języku angielskim
i jeszcze jeden link tylko, że ze szczególnym przypadkiem tego twierdzenia.
Odległością styczną \(\displaystyle{ d\left( \omega _1 , \omega _2 \right)}\) pary okręgów nazywamy odległość punktów styczności tych okręgów do ich wspólnej stycznej zewnętrznej.
Twierdzenie Casey'a (słabsza wersja)
Jeśli okręgi \(\displaystyle{ \omega _A, \omega _B, \omega _C, \omega _D}\) są styczne do okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) w punktach A,B,C,D (wszystkie wewnętrznie lub wszystkie zewnętrznie) oraz czworokąt ABCD wpisany w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) jest wypukły, to spełniona jest równość: \(\displaystyle{ d\left( \omega _A , \omega _C \right) \cdot d\left( \omega _B , \omega _D \right) =d\left( \omega _A , \omega _B \right) \cdot d\left( \omega _C , \omega _D \right) + d\left( \omega _B , \omega _C \right) \cdot d\left( \omega _A , \omega _D \right)}\).
Jeśli okręgi są zdegenerowane do punktu to mamy twierdzenie Ptolemeusza.
Odległością styczną zewnętrzną pary okręgów nazywamy odległość punktów styczności tych okręgów od ich wspólnej stycznej zewnętrznej.
Odległością styczną wewnętrzną pary okręgów nazywamy odległość punktów styczności tych okręgów od ich wspólnej stycznej wewnętrznej.
Twierdzenie Casey'a
Odległości styczne (wewnętrzne lub zewnętrzne) czterech okręgów \(\displaystyle{ \omega _1, \omega _2, \omega _3, \omega _4}\) spełniają zależność \(\displaystyle{ d(\omega _1, \omega _2) \cdot d(\omega _3, \omega _4) \pm d(\omega _1, \omega _3) \cdot d(\omega _2, \omega _4) \pm d(\omega _1, \omega _4) \cdot d(\omega _2, \omega _3)=0}\)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje okrąg lub prosta \(\displaystyle{ \omega}\), do którego (do której) te okręgi są styczne. Ponadto:
(a) jeżeli odległości styczne są zewnętrzne, to okręgi są wszystkie styczne do \(\displaystyle{ \omega}\) wewnętrznie, bądź wszystkie zewnętrznie,
(b) jeżeli okręgi można podzielić na dwa podzbiory, wewnątrz których odległości styczne są zewnętrzne i między którymi odległości styczne są wewnętrzne, to okręgi w tych podzbiorach są styczne do \(\displaystyle{ \omega}\) tak samo, lecz inaczej niż okręgi z drugiego podzbioru.
