Czworokąt wypukły.

[Maciassss]

Potrzebuję pomocy z pewnym zadaniem:

Udowodnić, że jeżeli w czworokącie wypukłym AMBN przekątne są prostopadłe to:

\(\displaystyle{ \left| AM \right| ^{2} + \left| BN \right|^{2} = \left|AN \right|^{2} + \left| BM\right|^{2}}\)

[Vax]

Ładnie wychodzi na zespolonych. Niech \(\displaystyle{ A(a) \wedge M(m) \wedge B(b) \wedge N(n)}\)

Zapiszmy naszą równość

\(\displaystyle{ (a-m)(\overline{a-m})+(b-n)(\overline{b-n}) = (a-n)(\overline{a-n})+(b-m)(\overline{b-m})}\)

\(\displaystyle{ a\overline{a} - a\overline{m}-m\overline{a}+m\overline{m}+b\overline{b}-b\overline{n}-n\overline{b}+n\overline{n} = a\overline{a}-a\overline{n}-n\overline{a}+n\overline{n}+b\overline{b}-b\overline{m}-m\overline{b}+m\overline{m}}\)

\(\displaystyle{ a\overline{m}+m\overline{a}+b\overline{n}+n\overline{b} = a\overline{n}+n\overline{a}+b\overline{m}+m\overline{b}}\)

\(\displaystyle{ a(\overline{m}-\overline{n})-b(\overline{m}-\overline{n})+m(\overline{a}-\overline{b})-n(\overline{a}-\overline{b}) = 0}\)

\(\displaystyle{ (a-b)(\overline{m}-\overline{n})+(\overline{a}-\overline{b})(m-n) = 0}\)

A to jest równoważne temu, że \(\displaystyle{ AB}\) jest prostopadłe do \(\displaystyle{ MN}\)

Pozdrawiam.

[TheBill]

Vax, "wyciągasz armatę na muchę", z Pitagorasa wystarczyło Chyba, że Twoje rozwiązanie naprawdę jest ładne