Witam
Mam dwa zadanka:
1) Wyznaczyć kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego o polu S, dla którego promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest najmniejszy.
2) Wyznaczyć wymiary trójkąta równoramiennego o największym polu, jaki można wyciąć z koła o promieniu R.
Prosiłbym o wytłumaczenie jak rozwiązać powyższe zadania:)
Zadania z trójkątem równoramiennym wpisanym w okrąg
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Zadania z trójkątem równoramiennym wpisanym w okrąg
Zad 1
Robimy ładny rysunek i odczytujemy:
\(\displaystyle{ S = 2* \frac{R*R}{2}* sin(2\alpha) + \frac{R^2}{2}*sin(360 - 4\alpha)}\)
\(\displaystyle{ R}\) - promień okręgu opisanego
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt przy podstawie
Skąd taki wzór? Podzieliłem sobie ten trójkąt wzdłuż promieni tego okręgu poprowadzonych do wierzchołków. Widać?
No to jedziemy dalej:
\(\displaystyle{ R^2 = \frac{S}{sin(2\alpha) + sin(360-4\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ S}\) - dane
\(\displaystyle{ R}\) - najmniejsze, gdy \(\displaystyle{ R^2}\) najmniejsze \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) mianownik osiąga max.
\(\displaystyle{ sin(2\alpha) + \frac{1}{2}* sin(360-4\alpha) = sin(2\alpha)- \frac{1}{2} sin(4\alpha) = sin(2\alpha) - sin(2\alpha)cos(2\alpha) = sin(2\alpha)(1-cos(2\alpha))}\)
łatwo widać, że gdy \(\displaystyle{ sin(2\alpha) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ cos(2\alpha) = 0}\) mamy max. Zatem dla \(\displaystyle{ 2\alpha = \frac{\pi}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{4}}\) promień okręgu opisanego jest najmniejszy.
Robimy ładny rysunek i odczytujemy:
\(\displaystyle{ S = 2* \frac{R*R}{2}* sin(2\alpha) + \frac{R^2}{2}*sin(360 - 4\alpha)}\)
\(\displaystyle{ R}\) - promień okręgu opisanego
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt przy podstawie
Skąd taki wzór? Podzieliłem sobie ten trójkąt wzdłuż promieni tego okręgu poprowadzonych do wierzchołków. Widać?
No to jedziemy dalej:
\(\displaystyle{ R^2 = \frac{S}{sin(2\alpha) + sin(360-4\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ S}\) - dane
\(\displaystyle{ R}\) - najmniejsze, gdy \(\displaystyle{ R^2}\) najmniejsze \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) mianownik osiąga max.
\(\displaystyle{ sin(2\alpha) + \frac{1}{2}* sin(360-4\alpha) = sin(2\alpha)- \frac{1}{2} sin(4\alpha) = sin(2\alpha) - sin(2\alpha)cos(2\alpha) = sin(2\alpha)(1-cos(2\alpha))}\)
łatwo widać, że gdy \(\displaystyle{ sin(2\alpha) = 1}\) oraz \(\displaystyle{ cos(2\alpha) = 0}\) mamy max. Zatem dla \(\displaystyle{ 2\alpha = \frac{\pi}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{4}}\) promień okręgu opisanego jest najmniejszy.
Zadania z trójkątem równoramiennym wpisanym w okrąg
Wielkie dzięki za rozwiązanie. Mam jeszcze tylko pytanie odnośnie tego rysunku i kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) Czy ten kąt to ten który zaznaczyłem na rysunku? Czy dobrze podzieliłem ten trójkąt?
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Zadania z trójkątem równoramiennym wpisanym w okrąg
Rysunek dobry, ale jeśli chodzi o kąt, to to po prostu kąt przy podstawie trójkąta, czyli do tego co zaznaczyłeś musisz jeszcze dołożyć brakującą część. A \(\displaystyle{ 2\alpha}\) mam stąd, że to kąty środkowe, a potem pole liczyłem jako połowa iloczynu promieni i sinusa kąta między nimi. Wszystko już jasne?;)
Zadania z trójkątem równoramiennym wpisanym w okrąg
Wielkie dzięki już zrozumiałem:) A co z drugim zadaniem?
-
Mortify
- Użytkownik
- Posty: 768
- Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 164 razy
Zadania z trójkątem równoramiennym wpisanym w okrąg
Na takiej samej zasadzie.
Dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ S = 2* \frac{R*R}{2}* sin(2\alpha) + \frac{R^2}{2}*sin(360 - 4\alpha)}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ R}\).
\(\displaystyle{ S}\) jest max, gdy \(\displaystyle{ sin(2\alpha) + sin(360 - 4\alpha)}\) osiąga max, bo \(\displaystyle{ R}\) ustalone. A to rozwiązaliśmy już wyżej.
Dostajemy równanie:
\(\displaystyle{ S = 2* \frac{R*R}{2}* sin(2\alpha) + \frac{R^2}{2}*sin(360 - 4\alpha)}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ R}\).
\(\displaystyle{ S}\) jest max, gdy \(\displaystyle{ sin(2\alpha) + sin(360 - 4\alpha)}\) osiąga max, bo \(\displaystyle{ R}\) ustalone. A to rozwiązaliśmy już wyżej.