cięciwa i promień

bliznieta07129 · Post autor: **bliznieta07129** » 26 lut 2011, o 21:59

Punkt P jest odległy o 7 cm od środka okręgu o promieniu 11 cm. Przez punkt P poprowadzono cięciwę o długości 18 cm. Obliczyć długości odcinków, na które punkt P dzieli cięciwę.

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 26 lut 2011, o 22:35

Wklepałem całe rozwiązanie ale coś mi się skasowało:/. Więc napiszę tylko w skrócie. Skorzystaj z podobieństwa odpowiednich trójkątów. Jeśli S środek okręgu to przedłuż sobie odcinek \(\displaystyle{ PS}\) oznacz punkty przecięcia z okręgiem i zobacz, że wtedy odpowiednie trójkąty są podobne. Ogólnie będziesz miała do rozwiązania układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y=18 \\ xy=18 \cdot 4 \end{cases}}\).
\(\displaystyle{ x,y}\) to odcinki które szukasz.

bliznieta07129 · Post autor: **bliznieta07129** » 27 lut 2011, o 09:54

Układ bez problemów rozwiążę, ale skąd wzięło się to drugie równanie?

mateuszek89 · Post autor: **mateuszek89** » 27 lut 2011, o 12:17

z podobieństwa odpowiednich trójkątów. Narysuj sobie okrąg dowolny i poprowadź nawet dowolne 2 proste(u Ciebie jedna akurat będzie przechodziła przez środek okręgu, ale ogólnie to zachodzi) które będą przecinały się wewnątrz okręgu w punkcie \(\displaystyle{ S}\). Oznacz sobie punkty przecięcia prostej 1 z okręgiem punktami \(\displaystyle{ A,B}\) oraz 2 prostej z okręgiem punktami \(\displaystyle{ C,D}\). Wtedy pokaż, że trójkąty \(\displaystyle{ ASC}\) i \(\displaystyle{ BSD}\) są podobne. Stąd możesz uzyskać również taką proporcję jak w zadaniu, jeśli jedna z prostych będzie przechodziła przez punkt \(\displaystyle{ P}\) i przez środek okręgu \(\displaystyle{ S}\). Pozdrawiam!