zadanie - koło + trójkąt

alexband · Post autor: **alexband** » 17 gru 2006, o 16:15

W trójkącie prostokątnym przyprostokątna AB=8 a promień w okręgu wpisanym w ten trójkąt ma dł. 3 cm. Oblicz długość promienia okregu opisanego na tym trójkącie. z góry dzieki za informacje:P pozdro

doliva · Post autor: **doliva** » 17 gru 2006, o 16:33

Robimy rysunek. Odległości do punktów styczności są odpowiednio proporcjonalne dla figury wpisanej. Oznaczając odpowiednie boki otrzymyjemy: przyprostokątne \(\displaystyle{ (x+y)}\) oraz \(\displaystyle{ (x+z)}\) i przeciwprostokątną \(\displaystyle{ (z+y)}\). Na podstawie tego, że \(\displaystyle{ r=3}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ x=3}\)zatem wniosek \(\displaystyle{ y=5}\). I teraz wystarczy rozwiązać równanie:

\(\displaystyle{ (z+3)^{2}+8^{2}=(z+5)^{2}}\)

z tego wychodzi, że z=12 zatem przeciwprostokątna = 5+12 czyli \(\displaystyle{ 17}\). W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna = 2r, zatem \(\displaystyle{ r=8,5}\)