Okrąg i kwadrat
-
mecalls
- Użytkownik
- Posty: 20
- Rejestracja: 13 paź 2010, o 20:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 6 razy
Okrąg i kwadrat
Czy można całkowicie nakryć kwadratowy stół o boku 90cm dwoma okrągłymi obrusami o średnicy 1m?
-
matmi
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Okrąg i kwadrat
Nie.
Jednym obrusem możemy zakryć prostokąt o bokach 0,9 oraz \(\displaystyle{ \sqrt{0,19}}\)m (obliczymy to z tw. Pitagorasa znając dł. przekątnej = 1m). Zatem dwoma obrusami możemy zakryć prostokąt o bokach 0,9 oraz \(\displaystyle{ 2\sqrt{0,19}}\)<0,9. Czyli się nie da
Jednym obrusem możemy zakryć prostokąt o bokach 0,9 oraz \(\displaystyle{ \sqrt{0,19}}\)m (obliczymy to z tw. Pitagorasa znając dł. przekątnej = 1m). Zatem dwoma obrusami możemy zakryć prostokąt o bokach 0,9 oraz \(\displaystyle{ 2\sqrt{0,19}}\)<0,9. Czyli się nie da
-
Panda
- Użytkownik
- Posty: 342
- Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 28 razy
Okrąg i kwadrat
Zadanie 10 z tegorocznej Matematyki Bez Granic.
Nie wiem, czy rozwiązanie matmi jest "wystarczające", w końcu jednym obrusem możemy zakryć prostokąt + coś tam, drugim też i ich suma mnogościowa teoretycznie nie musi nie zakrywać stołu. Ale ja bym to zrobił tak (na MBG kombinowałem inaczej, ale wpadłem na coś lepszego):
Uprzedzam, że pisząc "kwadrat" mam na myśli ten konkretny kwadrat o sprecyzowanych wymiarach, podobnie "koło".
Lemat 1 - żadne koło nie zakryje dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu - dowód oczywisty.
Oczywisty wniosek - każdy obrus zakrywa 2 wierzchołki - przyjmijmy, że A,B jeden i C,D drugi. Niech ponadto E będzie środkiem AD i F środkiem BC.
Lemat 2 - Obrusy nigdy nie zajmą punktów E i F.
Dowód: Narysujmy koło o środku A i promieniu 1. Widzimy, że koło to jest zbiorem tych punktów, które może zawierać koło o średnicy, jeśli zawiera ono również wierzchołek A. Zatem narysujmy podobne koło w punkcie B - suma zbiorów punktów tych kół będzie zawierała wszystkie punkty, jakie może pokryć koło, które zawiera zarówno punkt A jak i B. Ponieważ odległość A od F i B od E jest większa od promieni łuków, to koło spełniające warunki podane we wniosku do lematu 1 nie zajmuje punktów E i F. Podobnie będzie z drugim kołem.
Z lematu 2 bezpośrednio wynika teza.
Czółko.
Nie wiem, czy rozwiązanie matmi jest "wystarczające", w końcu jednym obrusem możemy zakryć prostokąt + coś tam, drugim też i ich suma mnogościowa teoretycznie nie musi nie zakrywać stołu. Ale ja bym to zrobił tak (na MBG kombinowałem inaczej, ale wpadłem na coś lepszego):
Uprzedzam, że pisząc "kwadrat" mam na myśli ten konkretny kwadrat o sprecyzowanych wymiarach, podobnie "koło".
Lemat 1 - żadne koło nie zakryje dwóch przeciwległych wierzchołków kwadratu - dowód oczywisty.
Oczywisty wniosek - każdy obrus zakrywa 2 wierzchołki - przyjmijmy, że A,B jeden i C,D drugi. Niech ponadto E będzie środkiem AD i F środkiem BC.
Lemat 2 - Obrusy nigdy nie zajmą punktów E i F.
Dowód: Narysujmy koło o środku A i promieniu 1. Widzimy, że koło to jest zbiorem tych punktów, które może zawierać koło o średnicy, jeśli zawiera ono również wierzchołek A. Zatem narysujmy podobne koło w punkcie B - suma zbiorów punktów tych kół będzie zawierała wszystkie punkty, jakie może pokryć koło, które zawiera zarówno punkt A jak i B. Ponieważ odległość A od F i B od E jest większa od promieni łuków, to koło spełniające warunki podane we wniosku do lematu 1 nie zajmuje punktów E i F. Podobnie będzie z drugim kołem.
Z lematu 2 bezpośrednio wynika teza.
Czółko.