2 koła i kąt prosty

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 20 lut 2011, o 11:38

Dwa okręgi o środkach A i B są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest jednocześnie styczny do ramion tego samego kąta prostego. Udowodnij, że stosunek promienia większego z tych okręgów do promienia mniejszego jest równy \(\displaystyle{ 3 + \sqrt{2}}\).

Zadanie nie może być rozwiązane z wykorzystaniem podobieństwa, funkcji trygonometrycznych itp.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lut 2011, o 11:43

Rysunek i szukasz trójkątów prostokątnych z danymi kątami ostrymi.

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 20 lut 2011, o 12:00

Zapomniałem na początku dopisć, że nie moge korzystać z podobieństwa trójkątów, funkcji tryg. itp. itd.

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lut 2011, o 12:04

To skorzystaj z przekątnej kwadratu.

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 20 lut 2011, o 12:07

Zapomniałem na początku dopisć, że nie moge korzystać z podobieństwa trójkątów, funkcji tryg. itp. itd.

a z czego można?

Tak czy siak coś tu nie gra, ten stosunek musi być taki sam bez względu na metodę liczenia. I za chiny nie wyjdzie tyle co ma być..

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 20 lut 2011, o 12:08

piasek101 pisze:To skorzystaj z przekątnej kwadratu.

Skorzystałem, wszystko w Pitagorasie się zredukowało do 0 :/

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 20 lut 2011, o 12:10

Podobno (patrz post sigmaIpi) - nie gra. Ja nie robiłem - ale z przekątnych (i kwadratów) nie wyjdzie 0.

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 20 lut 2011, o 12:28

"Zredukuje się do zera" jeśli ułożysz złe równanie. Stosunek tych promieni wynosi \(\displaystyle{ 3+2 \sqrt{2}}\)

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 20 lut 2011, o 12:33

To jakie powinno być poprawne?

sigmaIpi · Post autor: **sigmaIpi** » 20 lut 2011, o 12:40

Przyjmijmy oznaczenia. K- wierzchołek kąta prostego, \(\displaystyle{ O_1}\) -środek mniejszego okręgu, \(\displaystyle{ O_2}\)-środek większego okręgu. R,r promienie odpowiednio mniejszego i większego okręgu.

Wówczas \(\displaystyle{ |KO_2|=R+r+r \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ |KO_2|=R \sqrt{2}}\). Porównaj stronami