Równoległobok

[yarlan]

Witam

Mam zadanka z równoległobokiem:

1. Obwód równoległoboku wynosi 34 cm. Przekątne dzielą ten równoległobok na 4 trójkąty . Różnica obwodów dwóch z nich mających współny bok wynosi 5 cm .Oblicz długości równoległoboku.

2. W równoległoboku ABCD bok jest 2 razy dłuższy od boku BC. Punkt K dzieli odcinek AB na połowy. Uzasadnij, żeodcinki DK i CK zawierają się odpowiednio w dwusiecznych kątów wewnętrznych ADC i BCD równoległoboku. Oblicz miarę kąta CKD.

3. Dwusieczna kąta D równoległoboku ABCD przecina bok AB lub jego przedłużenie w punkcie K oraz bok BC lub jego przedłużenie w punkcie L. Uzasadnij, że trójkąty AKD, CDL i KLB są równoramienne.

Proszę o pomoc w rozwiązaniu powyższych zadań.

[Vixy]

Zad 1

a, b długosci boków rownolegloboku
x, d przekatne równoległoboków

2a+2b=34
a+b=17
a=17-b

obwód pierwszego trojkata b+\(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)
obwód drugiego trojkata a+\(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)=17-b+\(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)

obwod pierwszego - obwod drugiego=5
b+\(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\)-(17-b+\(\displaystyle{ \frac{d}{2}}\)+\(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\) )=5

ii z tego wychodzi 2b=22
b=11
a=17-b=17-11=6

bok a wynosi 6 natomiast b 11

[ Dodano: 14 Grudzień 2006, 17:04 ]
w zadaniu drugim zeby to udowodnic nalezy skorzystac z twierdzenia o dwusiecznej

czylii krotszy bok ma dlugosc a , natomiast dluzszy ma dlugosc 2 a , te dwusieczne podziela dluzszy bok na dwie rowne czesci czyli bedzie a

noo i zgodnie z twierdzenia \(\displaystyle{ \frac{a}{a}}\) =\(\displaystyle{ \frac{a}{a}}\)

ii juz udowodnione , nad katem jeszcze mysle

[ Dodano: 14 Grudzień 2006, 17:19 ]
ok ztym katem juz cos wymyslilam , jednak bedzie mi to trudno wytlumaczyc boo nie widzisz rysunku.

W kazdym razie jak masz dwusieczna to ten jeden kat przy podstawie ma 90 stopni , robie na srodku wysokosc ii zauwazasz ze szukany kat zostal podzielony na polowy sa 2alfa za beta oznaczam sobie ten kat ktory jest miedzy plaszczyzna podstawy a dwusieczna czyli alfa + beta =90 stopni ... Maz dane wszystkie boki wiec z tw pitagora łatwo mozna obliczyc wyokosc ktora wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)/2 a .Teraz mozna obliczyc dlugosc tej dwusiecznej bo masz dana wysokosc ii przyprostokatna ..Majac juz dwusieczna zeby obliczyc kat nalezy skorzystac z tw. cosinusow ..


Nie jestem pewna , w razie błedu poprawiac

[qsiarz]

zaznaczasz polowe odcinka dc, niech bedzie jako punkt P, laczysz z punktem k, odcinki KP, ma dlugosc a, odcinek DC ma dlugosc 2a. czyli jest to trojkat prostokatny.

Mozesz tez zauwazyc ze miary katow w rownolegloboku to alfa i 180-alfa.