Witam!
Proszę o jakąkolwiek pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek :
1. W prostokącie narysowano 2 okręgi o średnicach idących sąsiednimi bokami prostokąta. Okręgi te przecinają się w punkcie s. Udowodnij, ze punkt S i dwa wierzchołki prostokąta należące do okręgów leżą na jednej prostej.
2. W prostokącie narysowano przekątną i dwie proste po obu jej stronach w tej samej odległości przecinające przeciwlegle boki trapezu. Wykaż, ze obwód powstałego równoległoboku jest równy sumie długości przekątnych prostokąta.
3. W trójkącie równoramiennym AC=AB. Na podstawie AB wybrano dowolny punkt O. Wykaz, ze suma odległości O od boków AC i BC jest równa odległości punktu A od boku BC.
Bardzo bardzo proszę o pomoc. To na prawdę pilne
Pozdrawiam
Kilka ciekawych zadan - dowodzenie
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Kilka ciekawych zadan - dowodzenie
1.
\(\displaystyle{ r}\) - promień mniejszego okręgu
\(\displaystyle{ R}\) - promień większego okręgu
Trójkąt ASB jest trójkątem prostokątnym (kąt ASB to kąt wpisany oparty na półokręgu)
Wyznaczam \(\displaystyle{ |BS|^2}\)
\(\displaystyle{ |BS|^2=(2R)^2-|AS|^2}\)
Trójkąt ASD jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (kąt ASD to kąt wpisany oparty na półokręgu)
Wyznaczam \(\displaystyle{ |DS|^2}\)
\(\displaystyle{ |DS|^2=(2r)^2-|AS|^2}\)
Trójkąty ASB i ASD są podobne \(\displaystyle{ \frac{|AS|}{|BS|}= \frac{|DS|}{|AS|} \Rightarrow |AS|^2= |BS| \cdot |DS|}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ (|BS|+|DS|)^2}\)
\(\displaystyle{ (|BS|+|DS|)^2=|BS|^2+2|BS| \cdot |DS|+|DS|^2=(2R)^2-|AS|^2+2 \cdot |AS|^2+(2r)^2-|AS|^2=(2R)^2+(2r)^2=|BD|^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ |BS|+|DS|=|BD|}\)
\(\displaystyle{ r}\) - promień mniejszego okręgu
\(\displaystyle{ R}\) - promień większego okręgu
Trójkąt ASB jest trójkątem prostokątnym (kąt ASB to kąt wpisany oparty na półokręgu)
Wyznaczam \(\displaystyle{ |BS|^2}\)
\(\displaystyle{ |BS|^2=(2R)^2-|AS|^2}\)
Trójkąt ASD jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (kąt ASD to kąt wpisany oparty na półokręgu)
Wyznaczam \(\displaystyle{ |DS|^2}\)
\(\displaystyle{ |DS|^2=(2r)^2-|AS|^2}\)
Trójkąty ASB i ASD są podobne \(\displaystyle{ \frac{|AS|}{|BS|}= \frac{|DS|}{|AS|} \Rightarrow |AS|^2= |BS| \cdot |DS|}\)
Wyznaczam \(\displaystyle{ (|BS|+|DS|)^2}\)
\(\displaystyle{ (|BS|+|DS|)^2=|BS|^2+2|BS| \cdot |DS|+|DS|^2=(2R)^2-|AS|^2+2 \cdot |AS|^2+(2r)^2-|AS|^2=(2R)^2+(2r)^2=|BD|^2}\)
czyli
\(\displaystyle{ |BS|+|DS|=|BD|}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Kilka ciekawych zadan - dowodzenie
Wykorzystując rysunek z poprzedniego postu Pani 'nmn' :
zauważamy że AS jest wspólnym ramieniem kątów ASB i ASD i ponadto, że są to kąty proste oparte na półokręgach o średnicach AB i AD, i to, że mające wspólny wierzchołek w S. Zatem ich drugie ramiona są prostopadłe do AS w punkcie S zatem leżą w jednej prostej przechodzącej przez wierzchołki B i D prostokąta.
Koniec wywodu.
W.Kr.
zauważamy że AS jest wspólnym ramieniem kątów ASB i ASD i ponadto, że są to kąty proste oparte na półokręgach o średnicach AB i AD, i to, że mające wspólny wierzchołek w S. Zatem ich drugie ramiona są prostopadłe do AS w punkcie S zatem leżą w jednej prostej przechodzącej przez wierzchołki B i D prostokąta.
Koniec wywodu.
W.Kr.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Kilka ciekawych zadan - dowodzenie
Jeżeli trójkąt jest równoramienny, i punkt O jest na "podstawie" tego trójkąta, to można problemik rozwiązać tak:
W.Kr.-- 8 lut 2011, o 13:17 --Po zamianie trapeza na prostokąt.
(Domyślam się przejęzyczenia).
W.Kr.-- 8 lut 2011, o 13:17 --Po zamianie trapeza na prostokąt.
(Domyślam się przejęzyczenia).
-
- Użytkownik
- Posty: 16328
- Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 35 razy
- Pomógł: 3248 razy
Kilka ciekawych zadan - dowodzenie
Zgodnie z treścią zadania
\(\displaystyle{ AC=AB=a}\)
\(\displaystyle{ CB=b}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{AOC}+P_{OBC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{bz}{2}= \frac{ax}{2}+ \frac{by}{2}}\)
\(\displaystyle{ bz= ax+ by /:b}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{a}{b}x+y}\)
Równość \(\displaystyle{ z=x+y}\), będzie prawdziwa jedynie gdy \(\displaystyle{ a=b}\), czyli dla trójkata równobocznego.
Poza tym jeżeli AB jest ramieniem to podstawą jest BC (narysowałam sobie też rysunek zgodny z treścią zadania i zmierzyłam odcinki, równość nie zachodzi)
Jeżeli natomiast
\(\displaystyle{ AC=BC=b}\)
\(\displaystyle{ AB=a}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{AOC}+P_{OBC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{bz}{2}= \frac{bx}{2}+ \frac{by}{2}}\)
\(\displaystyle{ bz= bx+ by /:b}\)
\(\displaystyle{ z=x+y}\)
3. W zadaniu nie ma mowy o prostych równoległych.
-
- Użytkownik
- Posty: 6882
- Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów
- Podziękował: 50 razy
- Pomógł: 1112 razy
Kilka ciekawych zadan - dowodzenie
Ja powoliłem sobie zauważyć, wnieść taką poprawkę :
"Jeżeli trójkąt jest równoramienny, i na "podstawie" AB wybrano dowolny punkt O " ..., to można problemik rozwiązać tak ".
Tę równoramienność i odróżnienie "podstawy" od ramion zaznaczyłem na rysunku.
Zatem odeszedłem od "ścisłej " treści, uważając że autor pomylił oznaczenia boków.
Co zaś tyczy się równoległych, to domyślam się, że rzecz idzie o odcinki OD i AE. Rzeczywiście w postawionym zadaniu nie ma zdania o równoległości odcinków, ale ich równoległość jest oczywista.
A może nie o to idzie?
W.Kr.
"Jeżeli trójkąt jest równoramienny, i na "podstawie" AB wybrano dowolny punkt O " ..., to można problemik rozwiązać tak ".
Tę równoramienność i odróżnienie "podstawy" od ramion zaznaczyłem na rysunku.
Zatem odeszedłem od "ścisłej " treści, uważając że autor pomylił oznaczenia boków.
Co zaś tyczy się równoległych, to domyślam się, że rzecz idzie o odcinki OD i AE. Rzeczywiście w postawionym zadaniu nie ma zdania o równoległości odcinków, ale ich równoległość jest oczywista.
A może nie o to idzie?
W.Kr.