Kilka ciekawych zadan - dowodzenie

[Michocio]

Witam!

Proszę o jakąkolwiek pomoc w rozwiązaniu poniższych zadanek :

1. W prostokącie narysowano 2 okręgi o średnicach idących sąsiednimi bokami prostokąta. Okręgi te przecinają się w punkcie s. Udowodnij, ze punkt S i dwa wierzchołki prostokąta należące do okręgów leżą na jednej prostej.

2. W prostokącie narysowano przekątną i dwie proste po obu jej stronach w tej samej odległości przecinające przeciwlegle boki trapezu. Wykaż, ze obwód powstałego równoległoboku jest równy sumie długości przekątnych prostokąta.

3. W trójkącie równoramiennym AC=AB. Na podstawie AB wybrano dowolny punkt O. Wykaz, ze suma odległości O od boków AC i BC jest równa odległości punktu A od boku BC.

Bardzo bardzo proszę o pomoc. To na prawdę pilne

Pozdrawiam

[anna_]

1.



\(\displaystyle{ r}\) - promień mniejszego okręgu
\(\displaystyle{ R}\) - promień większego okręgu


Trójkąt ASB jest trójkątem prostokątnym (kąt ASB to kąt wpisany oparty na półokręgu)

Wyznaczam \(\displaystyle{ |BS|^2}\)
\(\displaystyle{ |BS|^2=(2R)^2-|AS|^2}\)

Trójkąt ASD jest trójkątem prostokątnym równoramiennym (kąt ASD to kąt wpisany oparty na półokręgu)

Wyznaczam \(\displaystyle{ |DS|^2}\)
\(\displaystyle{ |DS|^2=(2r)^2-|AS|^2}\)

Trójkąty ASB i ASD są podobne \(\displaystyle{ \frac{|AS|}{|BS|}= \frac{|DS|}{|AS|} \Rightarrow |AS|^2= |BS| \cdot |DS|}\)


Wyznaczam \(\displaystyle{ (|BS|+|DS|)^2}\)
\(\displaystyle{ (|BS|+|DS|)^2=|BS|^2+2|BS| \cdot |DS|+|DS|^2=(2R)^2-|AS|^2+2 \cdot |AS|^2+(2r)^2-|AS|^2=(2R)^2+(2r)^2=|BD|^2}\)

czyli
\(\displaystyle{ |BS|+|DS|=|BD|}\)

[kruszewski]

Wykorzystując rysunek z poprzedniego postu Pani 'nmn' :
zauważamy że AS jest wspólnym ramieniem kątów ASB i ASD i ponadto, że są to kąty proste oparte na półokręgach o średnicach AB i AD, i to, że mające wspólny wierzchołek w S. Zatem ich drugie ramiona są prostopadłe do AS w punkcie S zatem leżą w jednej prostej przechodzącej przez wierzchołki B i D prostokąta.
Koniec wywodu.
W.Kr.

[anna_]

2. Nie rozumiem treści.

3. Sprawdź czy dobrze przepisałeś, bo to fałsz. (nie powinno być czasem AC=BC?)

[kruszewski]

Jeżeli trójkąt jest równoramienny, i punkt O jest na "podstawie" tego trójkąta, to można problemik rozwiązać tak:

W.Kr.-- 8 lut 2011, o 13:17 --Po zamianie trapeza na prostokąt.
(Domyślam się przejęzyczenia).

[anna_]

AU

f5cfdbab3cbca256m.png (16.81 KiB) Przejrzano 128 razy

[/url]

Zgodnie z treścią zadania
\(\displaystyle{ AC=AB=a}\)
\(\displaystyle{ CB=b}\)

\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{AOC}+P_{OBC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{bz}{2}= \frac{ax}{2}+ \frac{by}{2}}\)
\(\displaystyle{ bz= ax+ by /:b}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{a}{b}x+y}\)

Równość \(\displaystyle{ z=x+y}\), będzie prawdziwa jedynie gdy \(\displaystyle{ a=b}\), czyli dla trójkata równobocznego.

Poza tym jeżeli AB jest ramieniem to podstawą jest BC (narysowałam sobie też rysunek zgodny z treścią zadania i zmierzyłam odcinki, równość nie zachodzi)

Jeżeli natomiast
\(\displaystyle{ AC=BC=b}\)
\(\displaystyle{ AB=a}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{AOC}+P_{OBC}}\)
\(\displaystyle{ \frac{bz}{2}= \frac{bx}{2}+ \frac{by}{2}}\)
\(\displaystyle{ bz= bx+ by /:b}\)
\(\displaystyle{ z=x+y}\)


3. W zadaniu nie ma mowy o prostych równoległych.

[kruszewski]

Ja powoliłem sobie zauważyć, wnieść taką poprawkę :
"Jeżeli trójkąt jest równoramienny, i na "podstawie" AB wybrano dowolny punkt O " ..., to można problemik rozwiązać tak ".
Tę równoramienność i odróżnienie "podstawy" od ramion zaznaczyłem na rysunku.
Zatem odeszedłem od "ścisłej " treści, uważając że autor pomylił oznaczenia boków.
Co zaś tyczy się równoległych, to domyślam się, że rzecz idzie o odcinki OD i AE. Rzeczywiście w postawionym zadaniu nie ma zdania o równoległości odcinków, ale ich równoległość jest oczywista.
A może nie o to idzie?
W.Kr.

[anna_]

Poczekamy na autora topiku.

Chociaż wygląda na to, że już mu te zadania nie są potrzebne.