Trójkąt i wektory

[kysu]

Mam pokazać, że pole powierzchni trójkąta zbudowanego na dwóch wektorach A i B jest równe \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \left| A \times B\right|}\). Jak to zrobić?

[akw]

Będzie trochę pisania ale może się przyda nie tylko Tobie.

Trójkąt ABC. Współrzędne wierzchołków: \(\displaystyle{ A=(x_1,y_1); B=(x_2,y_2); C= (x_3,y_3)}\)
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}|AB|\cdot |CD|}\)
gdzie |CD| to wysokość trójkąta poprowadzona z C.
\(\displaystyle{ |AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\)
Znajdujemy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B.
\(\displaystyle{ (x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0 \\ (y_2-y_1)x - (x_2 - x_1)y - y_2x_1 + y_1 x_2=0}\)
Teraz długość |CD| Możemy obliczyć z wzoru na odległość punktu od prostej:
\(\displaystyle{ |CD|=\frac{|(y_2-y_1)x - (x_2 - x_1)y - y_2x_1 + y_1 x_2|}{\sqrt{(y_2-y_1)^2+(x_2-x_1)^2}}}\)

Podstawiając do wzoru na pole:
\(\displaystyle{ P_{ABC}=\frac{1}{2}|y_2x_3 - y_1x_3 - x_2y_3 +x_1y_3 - y_2x_1+ y_1x_2|}\)

Obliczmy teraz współrzędne dwóch dowolnych wektorów zaczepionych w tym samym wierzchołku. Dajmy na to \(\displaystyle{ \vec{AB}, \vec{AC}}\)
\(\displaystyle{ \vec{AB}=[x_2-x_1, y_2- y_1] \\ \vec{AC}=[x_3-x_1,y_3-y_1]}\)
Liczymy wyznacznik:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1 & y_2- y_1\\x_3-x_1 & y_3-y_1\end{array}\right |}\)

Po wyliczeniu(|-a|=|a|):
\(\displaystyle{ x_2y_3-x_1y_3-x_2y_1-y_2x_3+x_1y_2+y_1x_3}\)

Stąd:
\(\displaystyle{ S_{ABC}=\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{ccc}x_2-x_1 & y_2- y_1\\x_3-x_1 & y_3-y_1\end{array}\right|=\frac{1}{2} \cdot |det(\vec{AB}, \vec{AC})|}\)