Wyznaczenie miary kąta...

[pawellogrd]

Witam. Mam takie zadanie:

Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) w którym \(\displaystyle{ |AC|=|BC|, | \sphericalangle ACB| = 2 \alpha > \frac{\pi}{2}}\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(\displaystyle{ r}\). Wyznacz pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\).

Nie przyszło mi do głowy jak je zrobić więc spojrzałem na podpowiedzi. Autor sugeruje na początek wyznaczyć miarę kąta |DBS| (gdzie CD to wysokość trójkąta, a S to środek okręgu wpisanego w trójkąt). Narysowałem dwusieczne kątów i określiłem w ten sposób środek tego okręgu. Połączyłem punkty D, B i S. No i kąt |DBS| według mnie ma miarę po prostu \(\displaystyle{ \frac{\alpha}{2}}\). Załączam rysunek jak ja widzę ten trójkąt (oznaczenia x i y również wg. zalecenia autora dałem, żeby było prościej później sprawdzić z rozwiązaniem):



Jednak wg. autora kąt \(\displaystyle{ |DBS|= 45^{o}-\frac{\alpha}{2}}\). Myślę, że jak ten kąt będę miał to sobie poradzę dalej, ale jak ten kąt wyznaczyć w takim razie skoro to ma wyjść inaczej niż myślę?

Będę wdzięczny za naprowadzenie mnie
Z góry dziękuję za pomoc.
Pozdrawiam!

PS. Rysunek oczywiście nie jest idealny, są małe nieścisłości, ale raczej to pomocniczy rysunek określający mniej więcej jak ma być. Dwusieczne na nim nie są idealnie, ale to mały szczegół

[florek177]

To, że rysunek jest mało idealny to są duże szczegóły:
1. zaznaczony jest nie ten kąt;
2. trójkąt jest rozwartokątny.

Jak zrobisz właściwy rysunek i oznaczenia zgodne z treścią zadani, to i sugestie autora będą zasadne.

[kruszewski]

Trójkąt ABC jest równoramienny, zatem ma równe kąty przyległe do boku AB, każdy z nich ma miarę równą mierze kata prostego pomniejszoną o połowę kąta C. Zaznaczony czerwonym kolorem kąt, jest połową kata B, ale i ma miarę równą "pół" kąta A, i w ogólnym przypadku nie jest równy połowie kąta C. Mając więc dany kąt C, masz daną miarę jego połowy, zatem możesz obliczyć połowke kąta B, albo A, a znając promień r okręgu wpisanego w ten trójkąt z funkcji tangens znajdziesz miarę połowy boku AB zatem i miarę AB. Reszta nie powinna być nie do pokonania.
W.Kr.

[pawellogrd]

Dziękuję za obie odpowiedzi Ta od kruszewskiego uzmysłowiła mi mój błąd czyli założenie, że kąt ABC i CAB mają miary \(\displaystyle{ \alpha}\). Sam nie wiem dlaczego tak założyłem. A rysunek fakt też był zły, jednak i na tym złym jakbym odpowiednio kąty zaznaczył to by było ok.

Jeszcze raz dziękuję za pomoc!
Pozdrawiam!