Dane jest koło o promieniu r i środku O. A jest pkt. różnym od O i leży wewnatrz tego kola. Niech B bedzie takim pkt na polprostej OA , że OA*OB=r^2. Udowodnij ze srodek odcinka AB lezy poza danym kołem.
Prosze o pomoc! Potrzebuje to na jutro!
Udowodnić. Zadanie z kołem i prostą. Trudne ;)
-
DEXiu
- Użytkownik
- Posty: 1174
- Rejestracja: 17 lut 2005, o 17:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Jaworzno
- Pomógł: 69 razy
Udowodnić. Zadanie z kołem i prostą. Trudne ;)
Punkty A i B są swoimi obrazami w inwersji względem okręgu o(O,r) - to taka informacja na marginesie 
Rozwiązać można to tak:
Niech półprosta OA będzie dodatnią półosią liczbową (oczywiście punkt O będzie odpowiadał punktowi 0) i niech |OA|=a oraz |OB|=b. Mamy \(\displaystyle{ ab=r^{2}\,\Leftrightarrow\,\sqrt{ab}=r}\) a z nierówności Cauchy'ego między średnimi geometryczną i arytmetyczną \(\displaystyle{ r=\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}}\) co dowodzi postawionej tezy
(jeszcze można zauważyć, że \(\displaystyle{ {A}\neq{B}}\) więc równość w nierówności słabej nie zajdzie, ale to już szczegół)
Rozwiązać można to tak:
Niech półprosta OA będzie dodatnią półosią liczbową (oczywiście punkt O będzie odpowiadał punktowi 0) i niech |OA|=a oraz |OB|=b. Mamy \(\displaystyle{ ab=r^{2}\,\Leftrightarrow\,\sqrt{ab}=r}\) a z nierówności Cauchy'ego między średnimi geometryczną i arytmetyczną \(\displaystyle{ r=\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}}\) co dowodzi postawionej tezy
(jeszcze można zauważyć, że \(\displaystyle{ {A}\neq{B}}\) więc równość w nierówności słabej nie zajdzie, ale to już szczegół)