Kwadrat, trójkąty, KĄT

[Michal Asakura]

Na bokach BC i CD kwadratu ABCD o boku długości 1 obrano takie punkty M i N, że obwód trójkata CMN wynosi 2. Wyznacz miarę kąta MAN.

[anna_]

Znasz może odpowiedź?

[Michal Asakura]

Obierzmy na półprostej CB taki punkt E, aby odcinek BE był równy odcinkowi DN.
Wówczas otrzymamy trójkąt EAM przystający do trójkąta MAN. (Nie rozumiem własnie skąd im się bierze że są przystające)
Zauważmy teraz, że kąt NAE jest prosty i AM jest jego dwusieczną. Stąd kąt MAN ma miarę 45 stopni.

[anna_]

Że są przystające masz podpowiedzi na rysunku.

Trójkąt NCE
\(\displaystyle{ |NC|=y\\|CE|=1+1-y=2-y}\)
\(\displaystyle{ |EN|^2=|NC|^2+|CE|^2}\)
\(\displaystyle{ |EN|^2=y^2+(2-y)^2}\)
\(\displaystyle{ |EN|^2=y^2+(2-y)^2}\)
\(\displaystyle{ |EN|^2=2y^2 - 4y + 4}\)

Trójkąt NAE (sprawdzamy czy jest prostokątny)
\(\displaystyle{ |AE|^2+|AN|^2=|EN|^2}\)
\(\displaystyle{ ( \sqrt{y^2-2y+2} )^2+( \sqrt{y^2-2y+2} )^2=2y^2 - 4y + 4}\)
\(\displaystyle{ y^2-2y+2+y^2-2y+2=2y^2 - 4y + 4}\)
\(\displaystyle{ 2y^2 - 4y + 4=2y^2 - 4y + 4}\)

[Michal Asakura]

Mówi Pani że mam podpowiedzi na rysunku, ale ja nadal tego nie widzę.
Istotnie NA = AE, a bok AM jest wspólny ale jaki jest dowód na to że NM = ME lub Kąt NAM = Kąt MAE

[anna_]

\(\displaystyle{ |AN|=|AE|}\) - policzone z Pitagorasa
\(\displaystyle{ |AM|}\) - bok wspólny
\(\displaystyle{ |MN|=2-x-y}\) - policzone z obwodu
\(\displaystyle{ |EM|=1-x+1-y=2-x-y}\)

Trójkąty są przystające.

[Michal Asakura]

Dziękuje, teraz już wszystko rozumiem. Zapomniałem o tej danej (obwodzie)