Udowodnić równość odcinków

[darek36]

Przekątne AC i BD czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w punkcie S. Q jest środkiem boku AB, zaś P i R są rzutami prostokątnymi punktu S odpowiednio na proste AD i BC. Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \left|PQ\right|=\left|QR\right|}\)

[Qń]

159637.htm - Zadanie 9.

Q.

[Vax]

Można również z zespolonych, na końcu zostaje do udowodnienia równość:

\(\displaystyle{ \left| \frac{\overline{a}d-a\overline{d}+\frac{(\overline{a}-\overline{d})(c\overline{a}-a\overline{c})(d-b)-(\overline{a}-\overline{d})(c-a)(d\overline{b}-b\overline{d})}{(\overline{a}-\overline{c})(d-b)-(\overline{b}-\overline{d})(c-a)}+\frac{(a-d)(\overline{a}-\overline{c})(d\overline{b}-b\overline{d})-(a-d)(\overline{b}-\overline{d})(c\overline{a}-a\overline{c})}{(\overline{a}-\overline{c})(d-b)-(\overline{b}-\overline{d})(c-a)}}{2(\overline{a}-\overline{d})} - \frac{a+b}{2} \right | = \\ \\ \left | \frac{\overline{b}c-b\overline{c}+\frac{(\overline{b}-\overline{c})(d-b)(c\overline{a}-a\overline{c})-(\overline{b}-\overline{c})(c-a)(d\overline{b}-b\overline{d})}{(\overline{a}-\overline{c})(d-b)-(\overline{b}-\overline{d})(c-a)}+\frac{(b-c)(\overline{a}-\overline{c})(d\overline{b}-b\overline{d})-(b-c)(\overline{b}-\overline{d})(c\overline{a}-a\overline{c})}{(\overline{a}-\overline{c})(d-b)-(\overline{b}-\overline{d})(c-a)}}{2(\overline{b}-\overline{c})} -\frac{a+b}{2}\right |}\)

Po prostych obliczeniach wszystko powinno się zredukować

Pozdrawiam.

[ElusiveN]

Vax - Twoje rozwiązanie jest zdecydowanie bardziej oczywiste i przejrzyste. Na pewno o to chodziło autorowi tematu!