Udowodnij : Wektory v Odcinki

[hudy59]

Udowodnij, że odcinek łączący środki ramion trapezu, jest równoległy do podstaw i jego długość jest równa średniej arytmetycznej długości podstaw.

Najlepiej jak by to było zrobione na wektorach : )

P.S Moje oznaczenia żeby było łatwiej w rysunku potem i mi się kapnąć to:
od dołu odcinek |AB| = wektorowi d , prawa |BC| = wektorom b i b ( żeby było widać ! )
góra |DC| = wektor c i po lewewj wektory a i a |AD|. No i środek ten to |EF| równy wektorowi x.

[Justyna999]

Dany jest trapez ABCD. Niech E będzie środkiem boku AD, F środkiem boku CB, a odcinek EF linią środkową. Przez punkty D i F poprowadźmy prostą, która przetnie przedłużenie podstawy AB trapezu w punkcie M. Wówczas trójkąty DCF i BFM są przystające dlatego, że

CF = FD z założenia,

kąt CFD = kąt BFM, jako kąty wierzchołkowe,

kąt CDF =kąt FMB, jako kąty naprzemianległe.

Z przystawania tych trójkątów wynika, że

DF = FM.

W takim razie w trójkącie ADM odcinek EF łączy środki dwóch boków. Mamy zatem

EF II AM,

a więc EF II AB.

[ Dodano: 9 Grudzień 2006, 01:07 ]
a teraz wykażemy że długośc odcinka EF jest równa sredniej arytmetycznej długości podstaw.

Z poprzedniego popunktu wiemy ze odcinek EF jest równoległy do podstaw. EF oznaczmy jako x. Podzielimy trapez na dwa trójkaty poprzez narysowanie przekątnej AC. Oznaczmy punkt przeciecia sie tej przekątnej z odcinkiem EF jako P. Odcinek EF podzielił nam sie na dwa mniejsze odcinki. Tak więc EP=y a PF=z.(napewno miałes twierdzenie że długośc odcinka łączącego środki boków trójkata jast rowny połowie podstawy). Otrzymujemy witedy że y=a/2 i z=c/2, skąd x=y+z=(a+b)/2...

[ Dodano: 9 Grudzień 2006, 02:21 ]
a jeżeli chodzi o wektorowo to bardzo prosze:
Wszędzie dopisuj wektory bo mi latex nie wyświetla tak jak trzeba albo ja cos nie tak robie...
Mamy układ równań:
EF=EA+AB+BF
EF=ED+DC+CF
Dodajemy stronami i otrzymujemy:
2EF=EA+AB+BF+ED+DC+CF
EF=1/2(AB+DC)
dłudość EF=1/2(dł.AB+dł.DC)
Mam nadzieje że pomogłam:)