Zadanko z geometrii
-
Justyna999
- Użytkownik
- Posty: 66
- Rejestracja: 5 gru 2006, o 13:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 2 razy
Zadanko z geometrii
Udowodnij, że dla dowolnego trójkata ABC okrąg o średnicy AB przecina okrąg o średnicy AC w punkcie A' leżącym na prostej BC.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
Zadanko z geometrii
OK mam dowód
Mamy wykazać że okręgi o średnicach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) przecinają się na prostej \(\displaystyle{ BC}\) w jednym punkcie \(\displaystyle{ A'}\)
Załóżmy że tak nie jest, czyli że okrąg \(\displaystyle{ AB}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ A'_2}\), a okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AC}\) prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ A'_1}\)
Prowadzimy odcinki \(\displaystyle{ AA'_1 \; i \; AA'_2}\)
Zauważmy że trójkąty \(\displaystyle{ ABA'_2 \; i \; AA'_1C}\) są prostokątne jako że \(\displaystyle{ \angle A'_1 \; i \; \angle A'_2}\) są kątami wpisanymi opartymi na średnicy. Stąd wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ AA'_1A'_2}\) ma dwa kąty proste co prowadzi do sprzeczności, gdyż taki trójkąt nie istnieje.
Sprzeczność wynika faktu że te dwa okręgi przecinają się w dwóch róznych punktach. Stąd oba okręgi przecinają się w jednym punkcie \(\displaystyle{ A'}\)na prostej \(\displaystyle{ AB}\)
Mamy wykazać że okręgi o średnicach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) przecinają się na prostej \(\displaystyle{ BC}\) w jednym punkcie \(\displaystyle{ A'}\)
Załóżmy że tak nie jest, czyli że okrąg \(\displaystyle{ AB}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ A'_2}\), a okrąg o średnicy \(\displaystyle{ AC}\) prostą \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ A'_1}\)
Prowadzimy odcinki \(\displaystyle{ AA'_1 \; i \; AA'_2}\)
Zauważmy że trójkąty \(\displaystyle{ ABA'_2 \; i \; AA'_1C}\) są prostokątne jako że \(\displaystyle{ \angle A'_1 \; i \; \angle A'_2}\) są kątami wpisanymi opartymi na średnicy. Stąd wynika, że trójkąt \(\displaystyle{ AA'_1A'_2}\) ma dwa kąty proste co prowadzi do sprzeczności, gdyż taki trójkąt nie istnieje.
Sprzeczność wynika faktu że te dwa okręgi przecinają się w dwóch róznych punktach. Stąd oba okręgi przecinają się w jednym punkcie \(\displaystyle{ A'}\)na prostej \(\displaystyle{ AB}\)