proporcja odcinka

[michary91]

Witam
Mam takie pytanko odnośnie takiej sytuacji
Mamy odcinek BC i w odcinkU umieszczamy punkty P i P'. Czy z proporcji:
\(\displaystyle{ \frac{BP}{PC} = \frac{CP'}{P'B}}\)
wynika że \(\displaystyle{ BP=P'C}\)
wydaje mi się że tak... Tak?
Podrawiam

[ares41]

\(\displaystyle{ \frac{|BP|}{|PC|} = \frac{|CP'|}{|P'B|}\\|BP| \cdot |P'B|=|PC| \cdot|CP'|\\|BP|(|BP|+|PP'|)=(|PP'|+|CP'|) \cdot |CP'|\\|BP|^2+|BP| \cdot |PP'|=|CP'|^2+|CP'| \cdot |PP'|\\|BP|^2+|BP| \cdot |PP'|-|CP'|^2-|CP'| \cdot |PP'|=0\\(|BP| + |CP'|)(|BP| -|CP'|)+|PP'|(|BP|-|CP'|)=0\\(|BP| -|CP'|)(|BP| + |CP'|+|PP'|)=0\\|BP| -|CP'|=0 \ \vee \ |BP| + |CP'|+|PP'|=0 \\|BP| =|CP'| \ \vee \ |BP| + |CP'|+|PP'|=0}\)
Drugi przypadek odrzucamy, więc ostatecznie:
\(\displaystyle{ |BP| =|CP'|}\).

Spróbuj przeprowadzić podobny dowód, w przypadku, gdy punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ P'}\) zamienimy miejscami.
Pozdrawiam