Pole kwadratu i trójkąta

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 19 sty 2011, o 19:36

Zadanie 1.

Dany jest kwadrat ABCD o boku dł. a. Na bokach kwadratu obrano punkty K, L, M, N tak, że AK=BL=CM=DN= \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)a. Poprowadzono odcinki AL, BM, CN, i DK. Oblicz pole czworokąta ograniczonego tymi odcinkami.

Zadanie 2.

W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma dł. 1, a przyprostokątna dł. 2. Oblicz pole trójkąta

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 19 sty 2011, o 19:45

Zrób rysunki do obu zadań i wtedy wszystko widać.
W pierwszym ten mały czworokąt to pole kwadratu minus pole 4 trójkątów prostokątnych o bokach \(\displaystyle{ \frac{1}{4}a; \ \frac{3}{4}a}\).
W drugim skorzystaj z podobieństwa trójkątów - wysokość dzieli duży trójkąt na 2 mniejsze, w tym najmniejszym znane są wszystkie boki i porównujesz go z tym większym, w którym jest znany 1 bok o długości \(\displaystyle{ 1}\).

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 19 sty 2011, o 19:52

Nie zgadza się - podstawa tych trójkątów nie może mieć dł. \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)a.

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 19 sty 2011, o 20:04

Sorry, źle spojrzałam, jakby ten bok przecinał jeden taki trójkąt pod kątem prostym, to można by go podzielić na trójkąt i prostokąt, i wtedy byłoby pole \(\displaystyle{ \frac{3}{4}a \cdot \frac{1}{4}a}\), ale tak nie jest.
Może zaraz coś wymyślę.

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 19 sty 2011, o 20:07

Sam sposób rozwiązania nie jest problemem, pomysł mam, ale wychodzą mi strasznie dziwne liczby (np. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{18396}}\))

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 sty 2011, o 20:34

1) Idzie z podobieństwa - raczej nie ma dziwnych wyników.

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 19 sty 2011, o 20:35

Można prosić trochę dokładniej? Nnie miałem jeszcze podobieństwa omawianego, a z gimnazjum niezbyt wiele pamiętam...

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 19 sty 2011, o 20:37

Z tego co widzę to można to podzielić na 2 równoległoboki i 2 trójkąty - pole równoległoboku łatwo policzyć, nad polem trójkąta trzeba trochę posiedzieć, ale faktycznie trzeba pokombinować z podobieństwa.
Fajne zadanie...

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 19 sty 2011, o 20:46

Rysunek - na nim dwa kwadraty (duży i mały).

I od groma trójkatów - ważne te cztery jednakowe (jeden z nich to np AKD); oraz 4 malutkie ,,na rogach".

Małe są podobne do większych - skala do wyznaczenia - pole zmienia się z kwadratem skali.

Szukane - od całego odjąć cztery duże i dodać cztery małe.

Ps. Raczej kiedyś tu to robiłem - nie wiem czy tym sposobem.

Gwynbleiddss · Post autor: **Gwynbleiddss** » 19 sty 2011, o 20:49

Ok, thx