Witam
Mam takie pytanie:
Czy jeśli sześciokąt ma wszystkie boki równej długości oraz kąty spełniają warunek 1+3+5=2+4+6 (mam nadzieję że będzie zrozumiałe o co mi chodzi: te kąty idą zgodnie ze wskazówkami zegara.) to czy wtedy jest to wystarczalne aby można go wpisać w krzywą stożkowa.
Pozdrawiam
teoria - sześciokąt wpisany w krzywą stożkową
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
teoria - sześciokąt wpisany w krzywą stożkową
Można pokazać, że taki sześciokąt jest środkowosymetryczny. Wybierzmy bowiem jedną z jego przekątnych, powiedzmy AD i rozważmy czworokąt ADEF. Jeśli odbijemy punkty E,F wzglądem środka odcinka AD, otrzymamy punkty E',F' odpowiednio tak, że sześciokąt AE'F'DEF również spełnia dane warunki. Czworokąty ADE'F' oraz ADCB mają odpowiadające boki równej długości oraz równe sumy naprzeciwległych kątów. Te warunki wyznaczają czworokąty jednoznacznie z dokładnościa do izometrii. Skąd wnioskujemy, że E'=C, E'=B i w konsekwencji, że sześciokąt jest środkowosymetryczny. Wystarczy więc zastosować tw. Pascala, bo naprzeciwległe boki takiego sześciokąta są równoległe, więc ich punkty przecięcia leżą na jednej prostej (w nieskończoności).