rachunek wektorowy

[olsson]

Mam problem z takimi zadaniami:

1. Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że ze środkowych trójkąta można zbudować trójkąt.
2. Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że środki dowolnej łamanej zamkniętej w przestrzeni są wierzchołkami równoległoboku.

Bardzo proszę o pomoc.

Pozdrawiam

[xiikzodz]

Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Jego boki reprezentujemy wektorami:

\(\displaystyle{ a=B-A}\)

\(\displaystyle{ b=C-B}\)

\(\displaystyle{ c=A-C}\)

Środkowe trójkąta reprezentujemy wektorami:

\(\displaystyle{ \frac{a-c}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\),

\(\displaystyle{ \frac{b-a}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\),

\(\displaystyle{ \frac{c-b}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).

Wystarczy wykazać nierówność trójkąta

\(\displaystyle{ |a-c|\le|b-a|+|c-b|}\)

oraz pozostałe dwie powstałe z powyższej przez cykliczną zamianę oznaczeń (czyli mające ten sam dowód).

A ta nierówność jest oczywista, bo:

\(\displaystyle{ a-c=(a-b)+(b-c)}\)

czyli na mocy nierówności trójkąta:

\(\displaystyle{ |a-c|\le|a-b|+|b-c|=|b-a|+|c-b|}\)

co kończy argument.

Drugie zadanie jest źle sforułowane i nie potrafię odgadnąć oryginalnej intencji.