Mam problem z takimi zadaniami:
1. Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że ze środkowych trójkąta można zbudować trójkąt.
2. Korzystając z rachunku wektorowego uzasadnić, że środki dowolnej łamanej zamkniętej w przestrzeni są wierzchołkami równoległoboku.
Bardzo proszę o pomoc.
Pozdrawiam
rachunek wektorowy
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
rachunek wektorowy
Trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Jego boki reprezentujemy wektorami:
\(\displaystyle{ a=B-A}\)
\(\displaystyle{ b=C-B}\)
\(\displaystyle{ c=A-C}\)
Środkowe trójkąta reprezentujemy wektorami:
\(\displaystyle{ \frac{a-c}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\),
\(\displaystyle{ \frac{b-a}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\),
\(\displaystyle{ \frac{c-b}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).
Wystarczy wykazać nierówność trójkąta
\(\displaystyle{ |a-c|\le|b-a|+|c-b|}\)
oraz pozostałe dwie powstałe z powyższej przez cykliczną zamianę oznaczeń (czyli mające ten sam dowód).
A ta nierówność jest oczywista, bo:
\(\displaystyle{ a-c=(a-b)+(b-c)}\)
czyli na mocy nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ |a-c|\le|a-b|+|b-c|=|b-a|+|c-b|}\)
co kończy argument.
Drugie zadanie jest źle sforułowane i nie potrafię odgadnąć oryginalnej intencji.
\(\displaystyle{ a=B-A}\)
\(\displaystyle{ b=C-B}\)
\(\displaystyle{ c=A-C}\)
Środkowe trójkąta reprezentujemy wektorami:
\(\displaystyle{ \frac{a-c}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ A}\),
\(\displaystyle{ \frac{b-a}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ B}\),
\(\displaystyle{ \frac{c-b}2}\) - środkowa z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\).
Wystarczy wykazać nierówność trójkąta
\(\displaystyle{ |a-c|\le|b-a|+|c-b|}\)
oraz pozostałe dwie powstałe z powyższej przez cykliczną zamianę oznaczeń (czyli mające ten sam dowód).
A ta nierówność jest oczywista, bo:
\(\displaystyle{ a-c=(a-b)+(b-c)}\)
czyli na mocy nierówności trójkąta:
\(\displaystyle{ |a-c|\le|a-b|+|b-c|=|b-a|+|c-b|}\)
co kończy argument.
Drugie zadanie jest źle sforułowane i nie potrafię odgadnąć oryginalnej intencji.