Trójkąty i trapez

[hellsing]

Mamy dane dwa trójkąty o Polach \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) Ustawiono je tak abe były podstawami trapezu. Miejsce zetknięcia się wierzchołków jest punktem przecięcia się przekątnych tego trapezu. Oblicz pole trapezu.

[florek177]

Oznaczamy trapez ABCD i miejsce przecięcia przekątnych O. Pozostałe trójkąty trapezu \(\displaystyle{ P_{3}\,}\) i \(\displaystyle{ P_{4}\,}\).
Pole trapezu \(\displaystyle{ P = P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}\,}\)
Trójkąty ABC i ABD mają równe pola, bo mają wspólną podstawę AB i równe wysokości, więc:
\(\displaystyle{ P_{1}+P_{4} = P_{1}+P_{3}\,}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ P_{3}=P_{4}}\)
Trójkąty o polach \(\displaystyle{ P_{1} i P_{4}\,}\) mają wspólną wysokość ( z wierzchołka B ) i podstawy AO i OC.
Trójkąty o polach \(\displaystyle{ P_{3} i P_{2}\,}\) mają też wspólną wysokość ( z wierzchołka D ) i podstawy AO i OC.
Zatem \(\displaystyle{ P_{1} : P_{4} = AO : OC = P_{3} : P_{2}\,}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ P_{1}\cdot P_{2} = P_{3}\cdot P_{4}}\).

Pole trapezu \(\displaystyle{ P = (\sqrt{P_{1}} + \sqrt{P_{2}})^{2}}\)