Okręgi opisane i wpisane- wzory+twierdzenia

[boleczek]

1.Czy wzór \(\displaystyle{ r= \frac{2P}{Obw}}\), gdzie
r-promień okręgu wpisanego w wielokąt
P-pole wielokąta
Obw-obwód wielokąta

Dotyczy wszystkich wielokątów, czy tylko jakiejś grupy ?(wiem że dotyczy kwadratu, trójkąta prostokątnego,trójkąta równobocznego, sześciokąta foremnego, ale czy wszystkich ? A może jest jakieś twierdzenie mówiące w jakich wielokątach ma zastosowanie powyższy wzór)


2.Jaki jest "uniwersalny" wzór na promień okręgu opisanego na dowolnym wielokącie bądź na jakiejś większej grupie wielokątów ?

3.Jakie warunki musi spełnić wielokąt(tu mniej ogólnie) aby można było na jego podstawie opisać, bądź wpisać okrąg.

4.Czy są jakieś zasady związane ze spodkami, kątami między krawędzią i podstawą,bądź kątami między ścianami bocznymi, a podstawami ostrosłupów i okręgami wpisanymi w podstawę ostrosłupa.
takim twierdzeniem dotyczącym okręgów opisanych jest np.

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty, to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.

_________________
Z góry dziękuję za odpowiedzi,
Pozdrawiam boleczek

[anna_]

4.
Jeśli wszystkie ściany boczne ostrosłupa tworzą z podstawą równe kąty (lub jeśli wysokości wszystkich ścian bocznych, poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa, są równe), to w podstawę ostrosłupa można wpisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.

[lambu22]

3.

[boleczek]

Co z punktem 1 ?
W dziesięciokącie foremnym ten wzór \(\displaystyle{ r= \frac{2P}{Obw}}\) również znajduje zastosowanie
:
\(\displaystyle{ P= \frac{5a ^{2} \sqrt{5+2 \sqrt{5} }}{2}}\)

\(\displaystyle{ r = \frac{a\sqrt{5 + 2\sqrt{5}}}{2}}\)

\(\displaystyle{ Obw=10a}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{Obw}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{5a ^{2} \sqrt{5+2 \sqrt{5} }}{10a}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{a \sqrt{5+2 \sqrt{5} }}{2}}\)

Pięciokąt foremny nie spełnia tej zależności, nie wiem jak będzie z dziewięciokątem i siedmiokątem. Tu nasuwa się wniosek, że ten wzór ma zastosowanie tylko w parzystobocznych wielokątach, tylko dlaczego trójkąt ma być wyjątkiem.

[piasek101]

1) dotyczy wszystkich.

[boleczek]

1) dotyczy wszystkich.

Właśnie tu jest problem, ponieważ nie dotyczy wszystkich chociażby pięciokąta foremnego:
Pole:
\(\displaystyle{ P = \frac {a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}}\)

Promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny:

\(\displaystyle{ r=\frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}\)

Obwód pięciokąt a foremnego:

\(\displaystyle{ Obw=5a}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{2P}{Obw}}\)

Podstawiamy :

\(\displaystyle{ r= \frac{\frac {a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{2}}{5a}}\)

\(\displaystyle{ 5ar= \frac {a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 10ar= a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac {a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10a}}\)

\(\displaystyle{ r= \frac {a \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}}\)

Jak widzimy wychodzi nam całkiem inny wynik, a powinno wyjść :

\(\displaystyle{ r=\frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}\)

[anna_]

\(\displaystyle{ \frac { \sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}= \frac{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5+2 \sqrt{5} } }{10} = \frac{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5+2 \sqrt{5} } \cdot \sqrt{5-2\sqrt{5}}}{10\sqrt{5-2\sqrt{5}}} = \frac{ \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} }{10\sqrt{5-2\sqrt{5}}} = \frac{5}{10\sqrt{5-2\sqrt{5}}} =\frac{1}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}\)

[piasek101]

Czyli jak widzisz - ,,dotyczy wszystkich".

[boleczek]

Rzeczywiście . Przepraszam , mój błąd, nawet nie pomyślałem, że to może być to samo.(Sprawdzałem to kalkulatorem HEXelon Free podstawiając za \(\displaystyle{ a=5}\) nie dałem nawiasów, i kalkulator policzył według kolejności działań, a nie według "kreski ułamkowej", dlatego wychodziły całkiem inne wyniki)

Swoją drogą, to jest może jakiś przyjazny kalkulator gdzie da się liczyć ze wszystkimi kreskami ułamkowymi,potęgami itd. w sposób "graficzny" tak jak w LaTeX'ie.

Dzięki za pomoc,
boleczek