Pole i obwód koła - granica ciągu i wielokąty foremne

[Denise]

Bardzo proszę o pomoc! Mam zadanie: oblicz pole i obwód koła z zastosowaniem granicy ciągu lub wielokątów foremnych.

[tometomek91]

Pole \(\displaystyle{ S}\) \(\displaystyle{ n}\)-kąta foremnego, który jest wpisany w okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r}\), to \(\displaystyle{ S=\frac{1}{2}r^2nsin \left( \frac{2\pi}{n} \right)}\). W takim razie pole koła \(\displaystyle{ P}\) o promieniu \(\displaystyle{ r}\), to \(\displaystyle{ P= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}r^2nsin \left( \frac{2\pi}{n} \right)= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}r^2 \frac{sin \left( \frac{2\pi}{n} \right)}{\frac{2\pi}{n}} \cdot 2 \pi=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}r^2 \cdot 1 \cdot 2 \pi=\pi r^2}\). Liczymy obwód: niech \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), mamy:
\(\displaystyle{ Ob= \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\pi (r+\epsilon)^2-\pi r^2}{\epsilon}=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\pi (r^2+2r\epsilon+{\epsilon}^2)-\pi r^2}{\epsilon}=\lim_{\epsilon \to 0} 2\pi r +\epsilon=2\pi r}\).
(więcej:

[Denise]

Dzięki! To wygląda na jeden sposób z jednoczesnym zastosowaniem dwóch podanych elementów. A w poleceniu chyba chodzi o to, żeby rozwiązać oddzielnie jednym sposobem, związanym z granicą ciągu, i drugim, wielokąty foremne, jeśli dobrze rozumiem. Czy dałoby się tak, a jeśli nie to rozumiem, że to rozwiązanie można napisać i do jednego spobobu i do drugiego?

[tometomek91]

To polecenie jest dziwnie sformułowane, bo nie można oddzielnie policzyć tego z granic, a poźniej z wielokatów. Policz sobie obwód podobnym sposobem do tego, jak policzyłem pole, a te moje obliczenia związane z obwodem traktuj jako ciekawostke.