Wysokość czworościanu

[kamilrun]

Witam, z zadaniem trudzę się już dzień i dalej wychodzą mi złe wyniki.


Jaką długość ma wysokość czworościanu foremnego o objętości \(\displaystyle{ 8 \sqrt{3}}\) .


Za nic nie mogłem sobie z tym kodem poradzić. Co do zadania to wiem, że trzeba z pitagorasa sobie wysokość wyprowadzić, ale wyniku poprawnego dalej nie otrzymuje.

[anna_]

Krawędź podstawy \(\displaystyle{ a}\) policzysz ze wzoru:
\(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3}}\)

Wysokość czworościanu ze wzoru:
\(\displaystyle{ H^2=a^2-( \frac{2}{3} h_p)^2}\)
gdzie \(\displaystyle{ h_p}\) - wysokość podstawy

[irena_1]

a- krawędź czworościanu
H- wysokość czworościanu
R- promień okręgu opisanego na podstawie

\(\displaystyle{ R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\)

\(\displaystyle{ H^2+R^2=a^2\\H^2+\frac{3}{9}a^2=a^2\\H^2=\frac{6}{9}a^2\\H=\frac{a\sqrt{6}}{3}}\)

Objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{18}}{36}=\frac{3a^2\sqrt{2}}{36}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^3\sqrt{2}}{12}=8\sqrt{3}\\a^3\sqrt{2}=96\sqrt{3}\\a^3=\frac{96\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{96\sqrt{6}}{2}=48\sqrt{6}}\)

\(\displaystyle{ H=\frac{a\sqrt{6}}{3}\\H^3=\frac{a^3\cdot6\sqrt{6}}{27}\\H^3=48\sqrt{6}\cdot\frac{6\sqrt{6}}{27}\\H^3=\frac{32\cdot6}{3}=64\\H=4}\)