Trapez opisany na okręgu

[saniia]

Mam takie zadanie.
Na trapezie o podstawach dlugosci 16 i 8 cm oraz wysokosci 8 cm opisano okragljego srodek lezy wewnatrz trapezu. Oblicz odległosci srodka okregu od bokow tego trapezu.16 i 8 cm oraz wysokosci 8 cm opisano okragljego srodek lezy wewnatrz trapezu. Oblicz odległosci srodka okregu od bokow tego trapezu.

I doszłam do takich obliczeń, ale mam problem z rowiązaniem układu równań.
Trapez ABCD.
S - środek okręgu opisanego
E - środek AB, |EB| = 8
G - środek BC, \(\displaystyle{ |BC| = \sqrt{8 ^{2} +4 ^{2} } = 4 \sqrt{5} , |GB| = 2 \sqrt{5}}\)
F - środek CD, |CD| = 4
|SB| = |SC| = R - długość promienia okręgu opisanego na trapezie,
|SF| = y, |SE| = x, |SG| = z

Z tw. Pitagorasa:
1. w trójkącie FSC:\(\displaystyle{ x ^{2} + 4 ^{2} = R ^{2}}\)
2. w trójkącie ESB:\(\displaystyle{ y ^{2} + 8 ^{2} = R ^{2}}\)
3. w trójkącie GSB:\(\displaystyle{ z ^{2} + (2 \sqrt{5} ) ^{2} = R ^{2}}\)
oraz 4. \(\displaystyle{ x + y = 8}\) - i to z nim mam problem.. bo nie wiem jak go rozwiązać.. prosze o pomoc.

dołączam w linku rysunek

[anna_]

AU

4724076bdfcc1f2em.png (7.46 KiB) Przejrzano 59 razy

[/url]

Trapez jest równoramienny.
Z Pitagorasa obliczysz
\(\displaystyle{ |AD|=|BC|=4\sqrt5}\)
\(\displaystyle{ x<8}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=4^2+(8-x)^2\\ R^2=y^2+(2\sqrt5)^2\\ \frac{(16+8)\cdot8}{2}=\frac{16x}{2}+\frac{8(8-x)}{2}+(2\cdot \frac{y4\sqrt5)}{2} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=4^2+(8-x)^2\\ R^2=y^2+(2\sqrt5)^2\\ (16+8)\cdot8=16x+8(8-x)+ 8y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=16+x^2-16x+64\\ R^2=y^2+20\\ 192=16x+64-8x+ 8y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=x^2-16x+80\\ R^2=y^2+20\\ 8x=128-8y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=x^2-16x+80\\ R^2=y^2+20\\ 8x=128-8y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=x^2-16x+80\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=(16-y \sqrt5)^2-16(16-y \sqrt5)+80\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=256-32y \sqrt5 +5y^2 - 256+16y \sqrt5 +80\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} R^2=5y^2-16y \sqrt5+80\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2+20=5y^2-16y \sqrt5+80\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4y^2-16y \sqrt5+60=0\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y^2-4y \sqrt5+15=0\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ y^2-4y \sqrt5+15=0\\
\Delta=(-4 \sqrt5)^2-4 \cdot1\cdot 15\\
\Delta=80-60\\
\Delta=20\\
\sqrt\Delta=2 \sqrt5}\)

\(\displaystyle{ y_{1}=\frac{4 \sqrt5 -2 \sqrt5}{2}=\sqrt5\\
y_{2}=\frac{4 \sqrt5 +2 \sqrt5}{2}=3\sqrt5}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\sqrt5\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases} \ lub \ \begin{cases} y=3 \sqrt5\\ R^2=y^2+20\\ x=16-y \sqrt5 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\sqrt5\\ R^2=5+20\\ x=16-5 \end{cases} \ lub \ \begin{cases} y=3 \sqrt5\\ R^2=45+20\\ x=16-15 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}y=\sqrt5\\ R=5\\ x=11 \end{cases} \ lub \ \begin{cases} y=3 \sqrt5\\ R= \sqrt{65}\\ x=1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=3 \sqrt5\\ R= \sqrt{65}\\ x=1 \end{cases}}\)

[saniia]

dziękuje bardzo