Dwie styczne do okręgu

[kari663]

Półproste \(\displaystyle{ CA \ i \ CB}\) są styczne do pewnego okręgu w punktach \(\displaystyle{ A \ i \ B}\). Punkt \(\displaystyle{ P}\) leżący na okręgu zrzutowano prostopadle na proste \(\displaystyle{ AB \ , \ CA \ i \ CB}\), otrzymując odpowiednio \(\displaystyle{ C_{1}, B_{1}, A_{1}}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left| PC_{1} \right|= \sqrt{\left|PA_{1} \right| \cdot \left| PB_{1} \right| }}\)

[timon92]

po rozpisaniu kątów widać, że \(\displaystyle{ \Delta PB_1A \sim \Delta PC_1B}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta PC_1A \sim \Delta PA_1B}\), stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{PB_1}{PC_1} = \frac{PA}{PB} = \frac{PC_1}{PA_1}}\)

po wymnożeniu na krzyż skrajnych równości mamy \(\displaystyle{ PC_1^2 = PA_1 \cdot PB_1}\), a stąd tezę

[tometomek91]

po rozpisaniu kątów widać, że \(\displaystyle{ \Delta PB_1A \sim \Delta PC_1B}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta PC_1A \sim \Delta PA_1B}\)

właśnie nie za bardzo wiem jak te kąty rozpisać, mógłbyś pokazać? dzięki

[timon92]

wystarczy pamiętać, że kąt dopisany = kąt wpisany: \(\displaystyle{ \angle PAB_1 = \angle PBA = \angle PBC_1}\), ponadto kąty \(\displaystyle{ \angle AB_1P, \angle BC_1P}\) są proste - stąd dostajemy \(\displaystyle{ \Delta PB_1A \sim \Delta PC_1B}\)