Właśności w trapezie

Viper · Post autor: **Viper** » 2 gru 2006, o 16:00

Witam,

Nie mogę sobie poradzić z tym zadaniem. Czy ktoś mógłby mi pomóc?

Niech ABCD będzie dowolnym trapezem (AB||CD), którego przekątne AC i BD przecinają się w punkcie P. Określ, czy każde z poniższych tez jest prawdziwe:

a.) odcinek łączący środki ramion trapezu dzieli każdą z przekątnych na równe części.
b.) odległość pomiędzy środkami przekątnych jest równa połowie różnicy długości podstaw trapezu
c.) trójkąty APD i BPC mają równe pola.

Z góry dziękuję za wszelką pomoc.

Bierut · Post autor: **Bierut** » 2 gru 2006, o 19:05

a)TAK
b)TAK
c)TAK

Jeśli chodzi o to drugie, to akurat ostatnio w szkole musiałem udowodnić za pomocą wektorów.

Viper · Post autor: **Viper** » 2 gru 2006, o 19:06

Wybacz, ale klucz to ja mam...

Chodzi mi o to jak te odpowiedzi poprzec dowodami?

Bierut · Post autor: **Bierut** » 2 gru 2006, o 19:23

Mogę ci dać do drugiego, ba mam gotowe jak już mówiłem.

Narysuj sobie trapez i środki przekątnych oznacz jako \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\).

\(\displaystyle{ \overrightarrow{S_{1}S_{2}}=\overrightarrow{S_{1}C}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DS_{2}}=\overrightarrow{S_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BS_{2}}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{S_{1}A}=-\overrightarrow{S_{1}C}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{S_{2}B}=-\overrightarrow{S_{2}D}}\)
więc \(\displaystyle{ S_{1}S_{2}}\) równoległe do DC

Oznacz \(\displaystyle{ \overrightarrow{CD}=\vec{d}}\), \(\displaystyle{ \overrightarrow{AS_{1}}=\vec{a}}\), \(\displaystyle{ \overrightarrow{DS_{2}}=\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=2\vec{a}+2\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{CD}=\vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{S_{1}S_{2}}=\vec{a}+\vec{b}-\vec{d}}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=2\vec{a}+2\vec{b}-2\vec{d}}\)
\(\displaystyle{ 2\overrightarrow{S_{1}S_{2}}=2\vec{a}+2\vec{b}-2\vec{d}}\)

Podpunkt a) nie jestem pewien, ale chyba wiąże się z b) i podobnie można zrobić.

yorgin · Post autor: **yorgin** » 3 gru 2006, o 12:02

3) Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ P_{ABC}=P_{ABD}}\)(Równe podstawy i wysokości)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l}P_{ABC}=P_{APB}+P_{PBC} \\P_{ABD}=P_{APB}+P_{APD} \end{array}}\)
Odejmując stronami mamy:
\(\displaystyle{ P_{ADP}=P_{PBC}}\)

1)
Pokażę to dla jednej przekątnej, dla 2 jest analogiczny dowód.
Odcinek EF łączący środki boków trapezu jest równoległy do obu podstaw trapezu (fakt ten wynika z równoległości podstaw). Ponieważ E jest środkiem boku AD i EF jest równloległy do podstawy, to na podstawie Tw. Talesa mamy:
\(\displaystyle{ \frac{|AD|}{|ED|}=\frac{|BS_1|}{|S_1D|}}\) gdzie \(\displaystyle{ S_1}\) jest środkiem przekątnej BD.
Z tego ostatniego mamy:
\(\displaystyle{ \frac{|ED|}{|AD|}=\frac{1}{2}=\frac{|DS_1|}{|BD|}\\
|S_1D|=\frac{1}{2}|DB|}\)
Analogiczny dowód dla 2 przekątnej

Daumier · Post autor: **Daumier** » 25 mar 2007, o 13:35

Bierut pisze: \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}=2\vec{a}+2\vec{b}}\)

Dlaczego ?? Z góry dzięki za wyjaśnienie

[ Dodano: 26 Marzec 2007, 02:12 ]
Bardzo proszę o odpowiedź na moje powyższe pytanie

[ Dodano: 26 Marzec 2007, 02:13 ]