Czworokąt wpisany w okrąg

[sejman]

Czworokąt wpisano w okrąg tak, że dłuższa jego przekątna jest średnicą okręgu. Jeden z kątów wewnętrznych czworokąta ma miarę \(\displaystyle{ 150^{o}}\). Udowodnij , że długoś jego krótszej przekątnej jest równa połowie długości dłuższej przekątnej. Prosze o pomoc, jakąś wskazówkę lub rozwiązanie.

AU

155625e4e7a5c182.jpg (8.75 KiB) Przejrzano 141 razy

\(\displaystyle{ \left| \sphericalangle BCD\right|=150^{o}}\)

[kamil142]

Dam Ci małą podpowiedź:
Kąty ADC i ABC mają po \(\displaystyle{ 90^{o}}\), ponieważ z treści zadania wynika, że AC to średnica tego okręgu, a kąty wpisane w okrąg oparte na średnicy mają miarę \(\displaystyle{ 90^{o}}\).

Jak to nie pomoże podpowiem dalej Zadanie bardzo łatwe. Kwestia dopatrzenia się.

[Adam656]

Czy \(\displaystyle{ \left| AB\right| = \left| AD\right|}\) i \(\displaystyle{ \left| DC\right| = \left| BC\right|}\)???

[sejman]

no to też zauważyłem podczas próby, wyszło mi nawet że AB=AD i BC=DC, później próbowałem z podobieństw, ale trochę mi za dużo pierwiastków wychodziło i wogóle, także poproszę następną podpowiedź ;D

[kamil142]

Więc tak:
Mamy, że
\(\displaystyle{ |\sphericalangle DBA| = | \sphericalangle DCA|}\)
i \(\displaystyle{ | \sphericalangle DAC|=| \sphericalangle DBC|}\)

Jak wiadomo, są to kąty wpisane oparte na jednym łuku, a więc łatwo stwierdzić, że mamy do czynienia z dwoma identycznymi trójkątami, przystającymi.
A więc:
\(\displaystyle{ |DC|=|BC|}\)
\(\displaystyle{ |DA|=|AB|}\)
\(\displaystyle{ |DE|=|EB|}\)

Teraz należy się przypatrzeć wszelkim kątom wpisanym i poszukać odpowiednich kątów oparytych na tym samym łuku. Dojdziemy, że \(\displaystyle{ |\sphericalangle DAE}\)| jest prosty. Analogicznie postąpimy z innymi małymi trójkątami i będziemy mieli wtedy, że proste \(\displaystyle{ DB}\)i \(\displaystyle{ AC}\) są prostopadłe, co wcześniej nie było powiedziane w zadaniu.


I dalej już kwestia podobieństw oraz własności trójkątów:)

EDIT:

Ja i tak uważam, że moje rozumowanie jest prostsze dla was, więc próbujcie moją metodą Dojdziecie do tego samego wniosku, lecz będziecie wszystko widzieć tzn jak co i dlaczego

EDIT2: Literówki w Edit1

[Vax]

Sprawa jest prosta, oznaczmy:

\(\displaystyle{ |AD|=|AB|=x \wedge |DC|=|BC|=y \wedge |DE|=|EB|=a}\)

Łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ \sphericalangle EAD = 15^{\circ} \wedge \sphericalangle ADE = 75^{\circ} \wedge \sphericalangle EDC = 15^{\circ} \wedge \sphericalangle DCE = 75^{\circ}}\)

Analogiczne kąty będą ,,na dole" czworokąta.

Teraz z twierdzenia cosinusów dla trójkąta \(\displaystyle{ ABD}\) mamy:

\(\displaystyle{ 4a^2=2x^2-2x^2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4a^2 = 2x^2-x^2\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ 2a = x\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{x(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2}}\)

Teraz znajdźmy zależność między x a y, korzystając z twierdzenia sinusów w trójkącie \(\displaystyle{ ACD}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{\sin 75^{\circ}} = \frac{y}{\sin 15^{\circ}}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} \cdot x}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\cdot x}\)

\(\displaystyle{ y = (2-\sqrt{3})x}\)

I z Pitagorasa dla trójkąta \(\displaystyle{ ACD}\)

\(\displaystyle{ |AC|^2 = x^2+x^2(7-4\sqrt{3})}\)

\(\displaystyle{ |AC|^2 = 8x^2-4\sqrt{3}x^2}\)

\(\displaystyle{ |AC| = x\sqrt{8-4\sqrt{3}}}\)

\(\displaystyle{ |AC| = x\cdot (\sqrt{6}-\sqrt{2})}\)

\(\displaystyle{ |AC| = 4a}\)

cnd.

Pozdrawiam.

[kamil142]

Eh na identyczne rozumowanie naprowadzałem To miało być tak, że on sam rozwiąże, a nie przeczyta gotowe rozwiązanie, no, ale ok