Okręgi - Jednokładność

[chlorofil]

Niech \(\displaystyle{ o_{1} (S_{1}, r_{1})}\) i \(\displaystyle{ o_{2} (S_{2}, r_{2})}\) będą okręgami o różnych promieniach. Wiemy ponadto, że \(\displaystyle{ r_{1} + r_{2} > |S_{1}S_{2}|}\). Pokazac, że istnieją dokładnie dwie jednokładności przekształcające okrąg \(\displaystyle{ o_{1}}\) na okrąg \(\displaystyle{ o_{2}}\).

Co do pierwszej to widzę. Rysujemy styczne do obu okręgów. Przetną się one w jakimś punkcie. Ten punkt to środek jednokładności. Tylko jak to uzasadnić formalnie, że to będzie środek jednokładności? Co do drugiej jednokładności, to będzie ona o skali ujemnej. Nie jestem w ogóle pewien gdzie będzie jej środek...

[Qń]

Nie jestem w ogóle pewien gdzie będzie jej środek...

Również na przecięciu "stycznych do obu okręgów", tylko tym razem chodzi o te styczne, dla których oba okręgi są po innej stronie każdej z dwóch stycznych. Czyli chodzi o styczne leżące "na krzyż", przecinające się między okręgami.

Q.

[chlorofil]

Nie jestem w ogóle pewien gdzie będzie jej środek...

Również na przecięciu "stycznych do obu okręgów", tylko tym razem chodzi o te styczne, dla których oba okręgi są po innej stronie każdej z dwóch stycznych. Czyli chodzi o styczne leżące "na krzyż", przecinające się między okręgami.Q.

Ale nie bardzo to widze, skoro okręgi 'zachodzą' na siebie...

[Qń]

Rzeczywiście, przeczytałem nierówność w złą stronę.

Wskazówka: środek drugiej jednokładności to taki punkt \(\displaystyle{ P}\) odcinka \(\displaystyle{ S_1S_2}\), że \(\displaystyle{ \frac{S_1P}{PS_2}=\frac{r_1}{r_2}}\) (na pewno taki punkt istnieje, można wskazać jak go znaleźć konstrukcyjnie, ale w tym zadaniu tego nie trzeba robić). Pozostaje wykazać, że istotnie wtedy jest to jednokładność przekształcająca okrąg na okrąg, oraz że innych jednokładności niż te dwie nie ma.

Q.