Stosunek pol trojkata

[Zimnx]

W trójkącie równoramiennym kąt przy wierzchołku ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\) . Prosta przechodząca przez wierzchołek podstawy i nachylona do niej pod kątem o mierze \(\displaystyle{ \beta}\) , dzieli ten trójkąt na dwie części. Jaki jest stosunek pól obu tych części? Obliczyć ten stosunek, gdy długość obwodu trójkąta jest \(\displaystyle{ \frac{8}{3}}\) razy większa niż długość jego ramienia.

Obliczylem ze podstawa ma dlugosc \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) ramienia , oraz ze \(\displaystyle{ \cos{\gamma} = \frac{1}{3}}\) gdzie gamma jest katem przy podstawie.
Do stosunku potrzebne mi sa odcinki na jakie dzieli ta prosta wychodzaca z wierzcholka podstawy , ramie.
Wyszlo mi , ze :
\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2}= \frac{2\sqrt{2}x}{\frac{9}{2}y\sin{\alpha}}}\)

Jakies wskazowki co dalej robic?

-- 16 gru 2010, o 19:59 --

Posiedzialem jeszcze chwile i wyszlo mi takie cos:
\(\displaystyle{ \frac{P_1}{P_2} = \frac{2\sqrt{2}\sin{\beta}}{3\sqrt{2}\sin{\alpha}\cos{\beta} - \frac{3}{2}\sin{\alpha}\cos{\beta}}}\)

Mozna to jakos uproscic czy to wlasciwa odpowiedz?

[florek177]

odcinek prostej - y

\(\displaystyle{ P_{ \sphericalangle BCD} = \frac{1}{2} \, \frac{3}{2}a \, ( \frac{3}{2}a - x ) \, sin(\alpha)}\);

\(\displaystyle{ P_{ \sphericalangle BCD} = \frac{1}{2} \, a \, y \, sin(\beta)}\);

z tw. sinusów dla trójkąta ABD:

\(\displaystyle{ \frac{x}{sin(\beta)}} = \frac{y}{sin(\frac{\pi - \alpha}{2})}}\)

\(\displaystyle{ \frac{x}{sin(\beta)}} = \frac{a}{cos(\alpha - \beta)}}\)

wyznaczasz dwie zmienne, trzecia skraca się.

[Zimnx]

rozumiem ze \(\displaystyle{ \frac{3}{2} a}\) jest dlugoscia ramienia. W drugim rownaniu pola tr. BCD jest \(\displaystyle{ \sin{\beta}}\) , a nie wiemy czy kat nachylenia prostej do ramienia jest tez rowny \(\displaystyle{ \beta}\)


//edit
zle spojrzalem, te drugie rownanie to chyba tr ABD.

Czemu w tu jest \(\displaystyle{ \cos(\alpha - \beta)}\) ?
\(\displaystyle{ \frac{x}{sin(\beta)}} = \frac{a}{cos(\alpha - \beta)}}\)

[florek177]

trzeci kąt trójkąta ABD: \(\displaystyle{ \pi - (\frac{\pi - \alpha}{2} + \beta)}\) - powinno być:

\(\displaystyle{ \frac{x}{sin(\beta)}} = \frac{a}{cos(\frac{\alpha}{2} - \beta)}}\)

[vip100]

A jak powinno ostatecznie wyjsć.

\(\displaystyle{ \frac{2\sin \beta}{3 \cos (\frac{\alpha}{2} + \beta)}}\)

Ja otrzymałem taki wynik jak wyżej.