równanie okręgu

[nogiln]

Równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ S=(a,b)}\) i promieniu długości \(\displaystyle{ r(r>0)}\) można także przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0}\)

gdzie \(\displaystyle{ r= \sqrt{a^{2}+b^{2} -c}}\) oraz \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} -c>0}\)

Przykład
Znajdź środek i długość promienia okręgu o równaniu:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} -6x+2y+6=0}\)

Rozwiązanie

\(\displaystyle{ -2a=6\\a=3}\)

\(\displaystyle{ -2b=2\\b=-1}\)

\(\displaystyle{ c=6}\)
potem sprawdzamy czy spełniony jest warunek

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2} -c=3^{2}+(-1)^{2} -6=4>0}\)

Wyznaczamy długość promienia okręgu: \(\displaystyle{ r= \sqrt{a^{2}+b^{2} -c}}\)

\(\displaystyle{ r= \sqrt{3^{2}+(-1)^{2} -6}= \sqrt{4}=2}\)

stąd \(\displaystyle{ r=2}\)

Ostatecznie mamy okrąg ośrodku \(\displaystyle{ S=(3,-1)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r=2}\)

Czy dobrze?

[slawekstudia6]

dobrze

Kiedyś takie rzeczy robiło się tak:

\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2} -6x+2y+6=0}\)

\(\displaystyle{ x^{2}-6x +9 +y^{2} +2y+1=-6+9+1}\)

\(\displaystyle{ \left( x-3\right)^{2} +\left( y +1\right)^{2} =2^{2}}\)

\(\displaystyle{ S=(3;-1)}\) \(\displaystyle{ r=2}\)