trójkąt równoramienny, obwód, wysokość, promień okręgu.

[piotrek16kb]

W trójkącie równoramiennym o polu 48 stosunek długości ramienia do wysokości opuszczonej na podstawę wynosi 5/4. Oblicz obwód i długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt.

[Maurezen]

podstawa to a, bok to b, a wysokość oznaczyłem h
stosunek boku do wysokości to \(\displaystyle{ 4b=5h}\)

z pitagorasa mamy że \(\displaystyle{ ( \frac{5}{4}h )^{2}=( \frac{1}{2}a) ^{2}+h ^{2}}\)

powinno wyjść a w odniesieniu do h

i teraz obliczamy pole używając niewiadomej h
z pola powinien wyjść wynik h, i wtedy obliczamy resztę
że \(\displaystyle{ h=8}\) \(\displaystyle{ a=12}\) i \(\displaystyle{ b=10}\)

następnie szkicujemy okrąg wpisany w trójkąt równoramienny i dzielimy trójkąt na pół wzdłuż wysokości
i otrzymany trójkąt prostokątny dzielimy na 2 trójkąty tak że ich pola równają się \(\displaystyle{ \frac{r*6}{2}}\) i \(\displaystyle{ \frac{r*10}{2}}\)

gdzie r to promień okręgu wpisanego
i mamy że te 2 pola równają się połowie całości, czyli \(\displaystyle{ \frac{r*6}{2}+ \frac{r*10}{2}=24}\)
\(\displaystyle{ r=3}\)