zwiazki miarowe w rownolegloboku

[Chromosom]

zadanie konkursowe, termin wczoraj uplynal: prosta przechodzaca przez wierzcholek \(\displaystyle{ A}\) rownolegloboku \(\displaystyle{ ABCD}\) przecina jego przekatna \(\displaystyle{ BD}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\), bok \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\), prosta \(\displaystyle{ DC}\) w punkcie \(\displaystyle{ G}\), udowodnic ze \(\displaystyle{ |AE|^2=|EF||EG|}\), ja probowalem w ukladzie kartezjanskim napisac rownania wszystkich prostych ale na pewno mozna prosciej, macie pomysly?

[Justka]

wsk.1:    

\(\displaystyle{ \Delta ADE \sim \Delta EBF}\) oraz \(\displaystyle{ \Delta GCF \sim \Delta ABF}\)

wsk.2:    

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{CF}{FG} = \frac{FB}{AE+EF} \\ \frac{AD}{AE} = \frac{BF}{EF} \end{cases}}\)

[Chromosom]

skorzystalem z drugeiego rownania i probowalem przekstzalcic tak zeby otrzymac teze:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{|CF|}{|FG|}=\frac{|FB|}{|AE|+|EF|}\Leftrightarrow\frac{|CF|}{|FG|}=\frac{|AD||EF|}{|AE|\left(|AE|+|EF|\right)}\\ |BF|=\frac{|AD||EF|}{|AE|}\end{cases}}\)
i teraz po pomnozeniu stronami jest \(\displaystyle{ |CF|\left(|AE|^2+|AE||EF|\right)=|FG||AD||EF|}\) i nie wyglada na to zebym z tej postaci mial cos otrzymac, dobrze to w ogole robie? jesli tak to co dalej?

[Justka]

Troszeczkę przekombinowałeś to znaczy przekształcenia okay, tylko nie prowadzą do celu.

Zrób tak, z pierwszego równania wyznacz CF i podstaw do drugiego (oczywiście AD=CF+FB ), wtedy FB powinno się skrócić i po krótkich przekształceniach pojawi się to co chcemy udowodnić ;]

[Chromosom]

teraz mam \(\displaystyle{ \frac{|CF|+|BF|}{|AE|}=\frac{|BF|}{|EF|}}\) i po podstawiueniu \(\displaystyle{ \frac{\frac{|BF||FG|}{|AE|+|FG|}+|BF|}{|AE|}=\frac{|BF|}{|EF|}}\) po skroceniu \(\displaystyle{ \frac{|FG|}{|AE|+|FG|}+1=\frac{|AE|}{|EF|}\\ |EF||FG|+|AE||EF|+|EF||FG|=|AE|^2+|AE||FG|}\)
co dalej?

[Justka]

wkradła Ci się literówka (zamiast FG powino być EF w równaniu 'po podstawieniu', czyli \(\displaystyle{ \frac{\frac{BF \cdot FG}{AE+EF} + BF}{AE}}\) )

[Chromosom]

dzieki za poprzednie odpowiedzi, a ja dalej nie moge sobie poradzic, wiec zaczynajac od ostatniego rownania
\(\displaystyle{ \frac{\frac{|BF||FG|}{|AE|+|EF|}+|BF|}{|AE|}=\frac{|BF|}{|EF|}}\)
skracam przez \(\displaystyle{ |BF|}\) i mnoze przez \(\displaystyle{ |AE|}\)
\(\displaystyle{ \frac{|FG|}{|AE|+|EF|}+1=\frac{|AE|}{|EF|}}\)
mnoze stronami przez mianowniki ulamkow i mam
\(\displaystyle{ |EF||FG|+|AE||EF|+|EF|^2=|AE|^2+|AE||EF|}\)
i co robie zle?

[ares41]

Skróć stronami \(\displaystyle{ |AE||EF|}\). Wyciąg \(\displaystyle{ |EF|}\) przed nawias.

[Justka]

jest dobrze;
\(\displaystyle{ |EF||FG|+|AE||EF|+|EF|^2=|AE|^2+|AE||EF|}\)

czyli \(\displaystyle{ AE^2=EF(EF+FG)=EF\cdot EG}\)

[Chromosom]

udalo sie,dziekuje wszystkim:)

[timon92]

da się szybciej: z Talesa mamy \(\displaystyle{ \frac{AE}{EF} = \frac{BE}{ED} = \frac{EG}{AE}}\)