Długość przekątnych czworokąta.

balech · Post autor: **balech** » 5 gru 2010, o 12:39

Zadanie może i proste,ale od 7 rozwiązuję zadania i chyba coś mi ważnego umyka. Mianowicie:
mamy czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\), w którym \(\displaystyle{ BC = 12 cm}\), \(\displaystyle{ \sphericalangle BCD = 90^{\circ}}\), przekątne przecinają się pod kątem \(\displaystyle{ 60^{\circ}}\), dłuższa przekątna \(\displaystyle{ AC}\) dzieli krótszą przekątną \(\displaystyle{ BD}\)na połowy, ponadto \(\displaystyle{ BD}\) dzieli \(\displaystyle{ \sphericalangle ADC}\) na kąt prosty i kąt ostry. Jakie są długości przekątnych?

akw · Post autor: **akw** » 5 gru 2010, o 12:59

Najważniejszy jak zwykle jest rysunek. Masz dobrze zrobiony? Jeśli tak to zajmij się kątami trójkątów na które przekątne dzielną ten czworokąt.

balech · Post autor: **balech** » 5 gru 2010, o 13:22

Mam. Wszytko byłoby łatwe jakby udowdnić, że krótsza przekątna \(\displaystyle{ BD}\)
dzieli kąt \(\displaystyle{ ADC}\) na 90 i 30 stopni.

akw · Post autor: **akw** » 5 gru 2010, o 13:40

To jest prawda. Niech punkt \(\displaystyle{ S}\) to punkt przecięcia przekątnych. Zauważ, że \(\displaystyle{ \sphericalangle DAS = 180^o - 90^o - 60^o = 30^o}\)
Następna sprawa to trójkąt \(\displaystyle{ BCD}\). Jeśli S jest środkiem przeciwprostokątnej i z tego że środek okrągu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w połowie przeciw prostokątnej możemy wywnioskować że odcinki \(\displaystyle{ SD,SB,SC}\) to nic innego jak promienie okrągu opisanego na tym trójkącie więc są równe. A stąd wiemy że trójkąty \(\displaystyle{ SDC, SCB}\) są równoramienne. Teraz łatwo policzyć kąt o który Ci chodzi.

balech · Post autor: **balech** » 5 gru 2010, o 14:01

Dzięki:)