Bok i przekątna rombu
-
wojtek993
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 17 paź 2009, o 15:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 2 razy
Bok i przekątna rombu
W romb wpisano okrąg, którego promień ma długość 3 cm. Wiedząc, że sinus kąta ostrego rombu jest równy \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\), oblicz długość boku i długość przekątnych tego rombu
-
akw
- Użytkownik
- Posty: 479
- Rejestracja: 24 lis 2010, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: W.
- Podziękował: 11 razy
- Pomógł: 57 razy
Bok i przekątna rombu
Rysunek:
Najpierw bok. \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{3}{5}}\). U nas \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{|EG|}{|FE|}}\)
Wiemy też, że: \(\displaystyle{ h=2r=6=|EG|}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}= \frac{6}{|FE|} \Leftrightarrow |FE|=10}\)
Mamy bok. Teraz przekątne. Skorzystamy z wzoru na pole i tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot ah= \frac{1}{2}d_{1}\cdot d_{2} \Leftrightarrow ah= d_{1} \cdot d_{2} \Leftrightarrow d_{1} \cdot d_{2} = 60}\)
Z trójkąta \(\displaystyle{ FAC}\): \(\displaystyle{ ( \frac{d_{1}}{2} ) ^{2}+ (\frac{d_{2}}{2}) ^{2}= a^{2}}\)
Otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ( \frac{d_{1}}{2} ) ^{2}+ (\frac{d_{2}}{2}) ^{2}= 100 \\ d_{1}d_{2}=60 \end{cases}}\)
Najpierw bok. \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{3}{5}}\). U nas \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{|EG|}{|FE|}}\)
Wiemy też, że: \(\displaystyle{ h=2r=6=|EG|}\). Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{3}{5}= \frac{6}{|FE|} \Leftrightarrow |FE|=10}\)
Mamy bok. Teraz przekątne. Skorzystamy z wzoru na pole i tw. Pitagorasa.
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} \cdot ah= \frac{1}{2}d_{1}\cdot d_{2} \Leftrightarrow ah= d_{1} \cdot d_{2} \Leftrightarrow d_{1} \cdot d_{2} = 60}\)
Z trójkąta \(\displaystyle{ FAC}\): \(\displaystyle{ ( \frac{d_{1}}{2} ) ^{2}+ (\frac{d_{2}}{2}) ^{2}= a^{2}}\)
Otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} ( \frac{d_{1}}{2} ) ^{2}+ (\frac{d_{2}}{2}) ^{2}= 100 \\ d_{1}d_{2}=60 \end{cases}}\)