Kwadrat, połączone środki i wierzchołki

[piternet]

Dany jest kwadrat ABCD. Punkt P jest środkiem boku AB, punkt Q jest środkiem boku BC, punkt R jest środkiem boku DC, punkt S jest środkiem boku AD. Udowodnij, że proste AR, BS, CP i DQ wyznaczają kwadrat, którego pole jest piątą częścią pola kwadratu ABCD.

mam coś takiego:
obliczyłem długość boku BS z tw. Pitagorasa. W tym boku zawiera się b i
\(\displaystyle{ a^{2} = \frac{1}{5} b^{2} \Leftrightarrow b = \frac{a \sqrt{5} }{5}}\)

jak obliczyć b?

[anna_]

Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ PBF}\) i \(\displaystyle{ ABE}\), wyjdzie
\(\displaystyle{ |AE|=2|PF|}\)

Z Pitagorasa dla trójkąta PBF policz \(\displaystyle{ x}\)
Potem
\(\displaystyle{ x+b+2x=BS}\)

[akw]

Rysunek:


Uploaded with

Z trójkąta BIA zauważ że z tw. Talesa wiemy: \(\displaystyle{ \frac{|BL|}{|IL|}= \frac{|BH|}{|AH|}}\)
A \(\displaystyle{ |AH|=|BH|}\) więc \(\displaystyle{ |BL|=|IL|}\). Patrząc na inne trójkąty zauważymy, że:
\(\displaystyle{ |AI|=|IL|}\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ |IL|=b, |AB|=a}\)Teraz tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ a ^{2}=b ^{2}+ (2b) ^{2} \Leftrightarrow b= \frac{a \sqrt{5} }{5}}\)

Teraz stosunek pól:
\(\displaystyle{ \frac{P _{IJKL} }{P _{ABCD} }= \frac{(\frac{a \sqrt{5} }{5}) ^{2} }{a ^{2} }= \frac{ \frac{5a ^{2} }{25} }{a ^{2} }= \frac{1}{5}}\)

c.k.d.

[piternet]

Dzięki, nie zauważyłem, że można tu Talesa wykorzystać