Witam, mam problem z poniższym zadaniem. Szczerze mówiąc, nie wiem od czego zacząć. Mam rysunek i wzór na średnią geomatryczną, ale co dalej?
W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne przecinają się w punkcie E. Wykaż, że pole trójkąta AED jest średnią geometryczną pól trójkątów AEB i CED.
Proszę o pomoc
Pola trójkątów w trapezie
-
Marian517
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Imielin
- Pomógł: 7 razy
Pola trójkątów w trapezie
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ S_{1}}\) i \(\displaystyle{ S{2}}\)Pola trójkątów AEB i CED. Zauważmy, że trójkąty AEB i CED są podobne zatem \(\displaystyle{ \frac{AE}{CE} = \frac{AB}{CD}= \sqrt{ \frac{S_{1}}{S_{2}}}}\)
Trójkąty AED i CED mają wspólną wysokość (z wierzchołka D) zatem: \(\displaystyle{ \frac{P_{AED}}{P_CED}= \frac{AE}{CE}= \sqrt{ \frac{S_{1}}{S_{2}}}}\)
Stąd \(\displaystyle{ P_{AED}=S_{1}* \sqrt{ \frac{S_{1}}{S_{2}}}= \sqrt{S_{1}S_{2}}}\) co należało dowieść.
Trójkąty AED i CED mają wspólną wysokość (z wierzchołka D) zatem: \(\displaystyle{ \frac{P_{AED}}{P_CED}= \frac{AE}{CE}= \sqrt{ \frac{S_{1}}{S_{2}}}}\)
Stąd \(\displaystyle{ P_{AED}=S_{1}* \sqrt{ \frac{S_{1}}{S_{2}}}= \sqrt{S_{1}S_{2}}}\) co należało dowieść.