Na kole o promieniu r...

[mikus54]

Na kole o promieniu r opisano trapez równoramienny, w którym stosunek długosci podstaw
wynosi 4 : 3. Obliczyc stosunek pola koła do pola trapezu oraz cosinus kata ostrego
w tym trapezie.


Proszę o pomoc i dziękuje

[Gadziu]

(wiem, że rysunek trochę beznadziejny, ale nie mialem czasu lepszego zrobić)
a - krótsza podstawa
b - dłuższa podstawa
c - ramię trapezu
r - promień
h - wysokość trapezu
Po - pole koła
Pt - pole trapezu
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ a= \frac{3b}{4}}\)

\(\displaystyle{ h=2r}\)


Zastosowując właściwości dwusiecznych wiemy, że:
\(\displaystyle{ c= \frac{a}{2} + \frac{b}{2}}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{3b}{8}+ \frac{b}{2}}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{7b}{8}}\)

Teraz, tam gdzie jest ten trójkąt z \(\displaystyle{ \alpha}\) stosujemy pitagorasa
\(\displaystyle{ \left( \frac{b-a}{2}\right)^{2}+h ^{2}=c ^{2}}\)

Po wstawieniu i przekształceniu wyszło nam, że:
\(\displaystyle{ b=4r\sqrt{\frac{1}{3}}}\)

więc \(\displaystyle{ a=3r\sqrt{\frac{1}{3}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{Po}{Pt}= \frac{ \pi r ^{2} }{ \frac{\left( 3r\sqrt{\frac{1}{3}}+4r\sqrt{\frac{1}{3}}\right) \cdot 2r }{2} }= \frac{\pi r ^{2}}{7r ^{2} \sqrt{ \frac{1}{3} } }= \frac{ \pi }{7 \sqrt{ \frac{1}{3} }}}\)

Myślę, że \(\displaystyle{ cos\alpha}\)to sobie już wyliczysz:)

[Sherlock]

Alternatywne rozwiązanie:

Skąd wiemy, że ramię ma długość 3,5x?

Z tw. Pitagorasa wylicz x (wyrażone za pomocą r). Potem już pola, ich stosunek i cosinus.