Romb opisany na okręgu
-
Adamcio121
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 12 paź 2010, o 21:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
Romb opisany na okręgu
Na okręgu o promieniu r opisano romb, którego dłuższa przekątna jest równa 4r. Oblicz pole każdej z czterech figur ograniczonych odpowiednim łukiem okręgu i bokami rombu.
-
Marian517
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Imielin
- Pomógł: 7 razy
Romb opisany na okręgu
Oznaczmy przez A, B, C, D kolejne wierzchołki rombu, O jako środek okręgu oraz jako E punkt styczności okręgu z bokiem AB.
\(\displaystyle{ |AO|=2r}\), \(\displaystyle{ |OE|=r}\)
Ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ AOE}\) jest prostokątny to z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta:
\(\displaystyle{ |AE|^{2}+|OE|^{2}=|AO|^2}\)
\(\displaystyle{ |AE|^{2}+r^{2}=(2r)^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ |AE|=r \sqrt{3}}\)
Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ AOE}\) i \(\displaystyle{ AOB}\) są podobne (z cechy kąt-kąt)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|OE|}= \frac{|AO|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{r \sqrt{3}}{r}= \frac{2r}{|OB|} \Rightarrow |OB|= \frac{2r \sqrt{3}}{3}}\)
Na koniec wystarczy obliczyć pole trójkąta prostokątnego\(\displaystyle{ AOB}\) znając jego przyprostokątne (\(\displaystyle{ AO}\) i \(\displaystyle{ OB}\)).
\(\displaystyle{ |AO|=2r}\), \(\displaystyle{ |OE|=r}\)
Ponieważ trójkąt \(\displaystyle{ AOE}\) jest prostokątny to z twierdzenia Pitagorasa dla tego trójkąta:
\(\displaystyle{ |AE|^{2}+|OE|^{2}=|AO|^2}\)
\(\displaystyle{ |AE|^{2}+r^{2}=(2r)^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ |AE|=r \sqrt{3}}\)
Zauważmy, że trójkąty \(\displaystyle{ AOE}\) i \(\displaystyle{ AOB}\) są podobne (z cechy kąt-kąt)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|OE|}= \frac{|AO|}{|OB|}}\)
\(\displaystyle{ \frac{r \sqrt{3}}{r}= \frac{2r}{|OB|} \Rightarrow |OB|= \frac{2r \sqrt{3}}{3}}\)
Na koniec wystarczy obliczyć pole trójkąta prostokątnego\(\displaystyle{ AOB}\) znając jego przyprostokątne (\(\displaystyle{ AO}\) i \(\displaystyle{ OB}\)).