1. Rozwiąż w liczbach rzeczywistych :
\(\displaystyle{ \sqrt{x-2} + \sqrt{y} + \sqrt{z-1} = \frac{x+y+z}{2}}\)
2. Wykaż, że jeżeli punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC, r jest długością promienia okręgu wpisanego i R jest długością promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, to : \(\displaystyle{ |OA|*|OB|*|OC|=4r ^{2}*R}\)
Proszę o pomoc:)
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych
-
Marian517
- Użytkownik
- Posty: 47
- Rejestracja: 20 lip 2010, o 16:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Imielin
- Pomógł: 7 razy
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych
Ad 1. Niech: \(\displaystyle{ \sqrt{x-2}=a} \Rightarrow x=a ^{2}+2}\),
\(\displaystyle{ \sqrt{y}=b \Rightarrow y=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{z-1}=c \Rightarrow z=c^{2}+1}\)
Równanie wygląda teraz:
\(\displaystyle{ a+b+c= \frac{a ^{2}+2+b^{2}+c^{2}+1}{2}}\)
Po niewielkich przekształceniach otrzymujemy: \(\displaystyle{ a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1+c^{2}-2c+1=0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=0}\)
a ponieważ kwadrat liczby jest liczbą nieujemną, zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} a-1=0 \\ b-1=0 \\ c-1=0 \end{cases}}\) , czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=1 \\ c=1 \end{cases}}\)
Wracając teraz do podstawienia \(\displaystyle{ \begin{cases}x=3 \\ y=1 \\ z=2 \end{cases}}\).
Na końcu wypadałoby sprawdzić czy rozwiązanie jest prawdziwe.
\(\displaystyle{ \sqrt{y}=b \Rightarrow y=b^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{z-1}=c \Rightarrow z=c^{2}+1}\)
Równanie wygląda teraz:
\(\displaystyle{ a+b+c= \frac{a ^{2}+2+b^{2}+c^{2}+1}{2}}\)
Po niewielkich przekształceniach otrzymujemy: \(\displaystyle{ a^{2}-2a+1+b^{2}-2b+1+c^{2}-2c+1=0}\)
\(\displaystyle{ (a-1)^{2}+(b-1)^{2}+(c-1)^{2}=0}\)
a ponieważ kwadrat liczby jest liczbą nieujemną, zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} a-1=0 \\ b-1=0 \\ c-1=0 \end{cases}}\) , czyli \(\displaystyle{ \begin{cases} a=1 \\ b=1 \\ c=1 \end{cases}}\)
Wracając teraz do podstawienia \(\displaystyle{ \begin{cases}x=3 \\ y=1 \\ z=2 \end{cases}}\).
Na końcu wypadałoby sprawdzić czy rozwiązanie jest prawdziwe.