nierówność w czworokacie

darek20 · Post autor: **darek20** » 11 lis 2010, o 21:05

W czworokącie wypukłym o bokach \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) i przekątnych e i f wykaż nierówność
\(\displaystyle{ a+b+c+d \ge e+f+2x}\)
gdzie x-długość odcinka łączącego środki przekątnych

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lis 2010, o 04:57

Mógłbyś sprawdzić czy dobrze przepisałeś nierówność?

darek20 · Post autor: **darek20** » 12 lis 2010, o 07:32

a czemu o to pytasz?

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lis 2010, o 14:41

Bo chyba wiem jak udowodnić, że
\(\displaystyle{ a+b+c+d > \frac{1}{2}( e+f)+2x}\)

darek20 · Post autor: **darek20** » 12 lis 2010, o 14:46

no ale to nie ta sama nierówność co \(\displaystyle{ a+b+c+d \ge e+f+2x}\)

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lis 2010, o 15:10

Dlatego pytałam czy dobrze spisałeś nierówność.

W każdym razie udowodniłam, że
\(\displaystyle{ 0,5b+0,5d>x}\)
\(\displaystyle{ 0,5a+0,5c>x}\)
Ma ktoś pomysł co dalej?

darek20 · Post autor: **darek20** » 12 lis 2010, o 15:33

głowy nie dam sobie teraz uciąć ale na 99% dobrze przepisałem

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lis 2010, o 15:48

No tak, ale z tego co napisałam wyżej i z
\(\displaystyle{ a+b+c+d>e+f}\)
nie wyjdzie to co trzeba.

darek20 · Post autor: **darek20** » 12 lis 2010, o 15:50

no to skoro tak sie upierasz to obal te moją nierówność

anna_ · Post autor: **anna_** » 12 lis 2010, o 15:59

Nie twierdzę, że nie jest prawdziwa. Po prostu nie mam pomysłu na jej udowodnienie
Chociaż z drugiej strony zastanawia mnie znak \(\displaystyle{ \ge}\), wydaje mi się, że równość nie będzie zachodziła.

timon92 · Post autor: **timon92** » 12 lis 2010, o 16:10

Równość może zajść w jakimś zdegenerowanym przypadku, np. jak trzy wierzchołki naszego czworokąta upchniemy do jednego, albo dwa damy do jednego punktu i dwa pozostałe do jakiegoś innego.