Udowodnij ze pole jest rowne..

[Piotrek5000]

Dany jest równoległobok ABCD. Punkt E nalezy do boku AB, a punkt F do boku AD. Prosta EF przecina prosta CB w punkcie P, a prosta CD w punkcie Q. Wykaz, ze pole trójkata CEF jest równe polu trójkata APQ.-- 8 lis 2010, o 17:32 --podbjam(bardzo zalezy mi na rozwiazaniu....)

[Marian517]

Czworokąt AFBP jest trapezem zatem \(\displaystyle{ P_{ABP}=P_{FBP}}\), zatem \(\displaystyle{ P_{AEP}=P_{FEP}}\) (udowodnić)

Niech \(\displaystyle{ h _{1}}\) będzie wysokością trójkąta AFB, a h wysokością czworokąta ABCD
\(\displaystyle{ P_{AFB}+P_{FDC}= \frac{1}{2}(AB* h_{1}+DC*h _{1})= \frac{1}{2}AB*h=P_{ABD}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABD}=P_{AFB}+P_{FDC}}\)
\(\displaystyle{ P_{AFB}=P_{AFE}+P_{FEB}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABD}=P_{AFE}+P_{AEP}+P_{FDC}}\)
Dodajemy \(\displaystyle{ P_{ADE}}\) do obu stron równania
Po przeniesieniu:\(\displaystyle{ P_{ADE}-P_{AFE}-P_{FDC}=P_{AEP}-P_{ABD}+P_{ADE}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ P_{ADE}-P_{AFE}=P_{EFD}}\) i \(\displaystyle{ P_{ABD}-P_{ADE}=P_{DEB}}\)
\(\displaystyle{ P_{EFD}-P_{FDC}=P_{AEP}-P_{DEB}}\)
\(\displaystyle{ P_{FDP}+P_{EFD}-P_{FDQ}-P_{FDC}=P_{AEQ}-P_{QEB}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ P_{FDQ}+P_{EFD}=P_{EPD}}\) i \(\displaystyle{ P_{FDQ}+P_{FDC}=P_{FQC}}\)
\(\displaystyle{ P_{EQD}-P_{FQC}=P_{AEP}-P_{PEB}}\)
\(\displaystyle{ P_{AQB}=P_{EDC}}\)
\(\displaystyle{ P_{EDC}+P_{EQD}-P_{FQC}=P_{AQB}+P_{AEP}-P_{QEB}}\)
\(\displaystyle{ P_{EDC}+P_{EQD}=P_{EQC}}\) i \(\displaystyle{ P_{AQB}-P_{QEB}=P_{AQE}}\)
\(\displaystyle{ P_{EQC}--P_{FQC}=P_{AQE}++P_{AEP}}\)
\(\displaystyle{ P_{EFC}=P_{APQ}}\) c.n.d