Okręgi o promieniach 3, 4, 5 są parami stycznie zewnętrznie. Przez punkt styczności okręgów o promieniach 3 i 4 poprowadzono wspólną styczną do tych okręgów. Oblicz długość odcinka tej stycznej zawartego w okręgu o promieniu 5.
Dzięki za pomoc:)
Okręgi o promieniach 3, 4, 5
-
Adamcio121
- Użytkownik
- Posty: 64
- Rejestracja: 12 paź 2010, o 21:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
-
Pancernik
- Użytkownik
- Posty: 634
- Rejestracja: 3 mar 2009, o 14:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 143 razy
Okręgi o promieniach 3, 4, 5
Obliczamy pole trójkąta powstałego ze środków okręgów.
\(\displaystyle{ a=7, b=8, c=9}\)
\(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu trójkąta
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}\left( a+b+c\right) = \frac{1}{2}\left( 7+8+9\right) =12\\
P= \sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }= \sqrt{12\left(12-7\right) \left( 12-8\right) \left( 12-9\right)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720}=12 \sqrt{5}}\)
Teraz obliczamy odległość środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\) od odcinka \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah\\
12 \sqrt{5}= \frac{1}{2} \cdot 7h\\
\frac{24}{7} \sqrt{5}=h}\)
Dzięki odcinkowi \(\displaystyle{ h}\) możemy teraz obliczyć odległość środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\) od stycznej przechodzącej przez ten okrąg.
\(\displaystyle{ d}\) - odległość od środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 4}\) od odcinka \(\displaystyle{ h}\)
\(\displaystyle{ d= \sqrt{c^2-h^2}= \sqrt{81- \frac{576}{49} \cdot 5 } = \frac{ \sqrt{1089} }{7} = \frac{33}{7}}\)
\(\displaystyle{ k}\) - odległość środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\) od stycznej przechodzącej przez ten okrąg
\(\displaystyle{ k= d-4=\frac{33}{7}-4 = \frac{5}{7}}\)
Teraz możemy obliczyć długość stycznej wewnątrz okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\).
\(\displaystyle{ s}\) - styczna wewnątrz okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}s = \sqrt{5^2-k^2} = \sqrt{25- \frac{25}{49} } = \sqrt{ \frac{1200}{49} }= \frac{20 \sqrt{3} }{7}\\
s=\frac{40 \sqrt{3} }{7}}\)
\(\displaystyle{ a=7, b=8, c=9}\)
\(\displaystyle{ p}\) - połowa obwodu trójkąta
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}\left( a+b+c\right) = \frac{1}{2}\left( 7+8+9\right) =12\\
P= \sqrt{p\left( p-a\right) \left( p-b\right) \left( p-c\right) }= \sqrt{12\left(12-7\right) \left( 12-8\right) \left( 12-9\right)} = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720}=12 \sqrt{5}}\)
Teraz obliczamy odległość środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\) od odcinka \(\displaystyle{ a}\).
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ah\\
12 \sqrt{5}= \frac{1}{2} \cdot 7h\\
\frac{24}{7} \sqrt{5}=h}\)
Dzięki odcinkowi \(\displaystyle{ h}\) możemy teraz obliczyć odległość środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\) od stycznej przechodzącej przez ten okrąg.
\(\displaystyle{ d}\) - odległość od środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 4}\) od odcinka \(\displaystyle{ h}\)
\(\displaystyle{ d= \sqrt{c^2-h^2}= \sqrt{81- \frac{576}{49} \cdot 5 } = \frac{ \sqrt{1089} }{7} = \frac{33}{7}}\)
\(\displaystyle{ k}\) - odległość środka okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\) od stycznej przechodzącej przez ten okrąg
\(\displaystyle{ k= d-4=\frac{33}{7}-4 = \frac{5}{7}}\)
Teraz możemy obliczyć długość stycznej wewnątrz okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\).
\(\displaystyle{ s}\) - styczna wewnątrz okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 5}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}s = \sqrt{5^2-k^2} = \sqrt{25- \frac{25}{49} } = \sqrt{ \frac{1200}{49} }= \frac{20 \sqrt{3} }{7}\\
s=\frac{40 \sqrt{3} }{7}}\)