W czworokącie wypukłym ABCD połączono kolejno środki boków i otrzymano kwadrat. Zatem:
A. czworokąt ABCD jest kwadratem
B. przekątne czworokąta ABCD przecinają się pod kątem ostrym
C. czworokąt ABCD jest trapezoidem
D. czworokąt ABCD jest deltoidem
I dlaczego?
Czworokąt wypukły
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Czworokąt wypukły
Punkty: K, L, M, N są środkami odpowiednio boków: AB, BC, CD, AD.
KL jest równy i równoległy do MN, bo:
- KL łączy środki boków trójkąta ABC, więc jest równoległy do przekątnej AC i równy połowie tej przekątnej,
- MN łączy środki boków trójkąta ACD, więc jest równoległy do AC i równy połowie tej przekątnej.
Wniosek- KL jest równy MN i oba odcinki są równoległe.
Analogicznie- LM i KN są odcinkami równymi i równoległymi, więc czworokąt KLMN jest równoległobokiem dla dowolnego czworokąta wypukłego ABCD.
Ponieważ przeciwległe boki czworokąta są równoległe do odpowiedniej przekątnej, a sąsiednie boki są prostopadłe, to wynika z tego, że przekątne czworokąta są prostopadłe.
Ponieważ przeciwległe boki czworokąta KLMN są równe połowie odpowiedniej przekątnej, a boki te są równe, to wynika z tego, że przekątne czworokąta ABCD są równej długości.
Czworokąt ABCD ma więc przekątne prostopadłe i równej długości- jest więc kwadratem.
Prawdziwa jest odpowiedź A.
Prawdziwa jest też odpowiedź B.
Prawdziwa jest również odpowiedź D.- Jeśli deltoid to czworokąt, który ma 2 pary sąsiednich boków równych.
Jeśli trapezoid to czworokąt wypukły nie będący trapezem, to C. jest nieprawdziwe.
KL jest równy i równoległy do MN, bo:
- KL łączy środki boków trójkąta ABC, więc jest równoległy do przekątnej AC i równy połowie tej przekątnej,
- MN łączy środki boków trójkąta ACD, więc jest równoległy do AC i równy połowie tej przekątnej.
Wniosek- KL jest równy MN i oba odcinki są równoległe.
Analogicznie- LM i KN są odcinkami równymi i równoległymi, więc czworokąt KLMN jest równoległobokiem dla dowolnego czworokąta wypukłego ABCD.
Ponieważ przeciwległe boki czworokąta są równoległe do odpowiedniej przekątnej, a sąsiednie boki są prostopadłe, to wynika z tego, że przekątne czworokąta są prostopadłe.
Ponieważ przeciwległe boki czworokąta KLMN są równe połowie odpowiedniej przekątnej, a boki te są równe, to wynika z tego, że przekątne czworokąta ABCD są równej długości.
Czworokąt ABCD ma więc przekątne prostopadłe i równej długości- jest więc kwadratem.
Prawdziwa jest odpowiedź A.
Prawdziwa jest też odpowiedź B.
Prawdziwa jest również odpowiedź D.- Jeśli deltoid to czworokąt, który ma 2 pary sąsiednich boków równych.
Jeśli trapezoid to czworokąt wypukły nie będący trapezem, to C. jest nieprawdziwe.