Nierówność w czworokącie

adriano1992 · Post autor: **adriano1992** » 25 paź 2010, o 18:29

Niech E, F, G, H będą środkami boków AB, BC, CD, DA czworokąta ABCD. Udowodnić, że zachodzi \(\displaystyle{ |EG| \cdot |FH| \le \frac{(|AB| + |CD|)(|BC| + |DA|)}{4}}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 25 paź 2010, o 20:44

Udowodnij najpierw, że
\(\displaystyle{ \left[ ABCD \right] \le \frac{(|AB| + |CD|)(|BC| + |DA|)}{4}}\)

adriano1992 · Post autor: **adriano1992** » 25 paź 2010, o 21:05

no dobrze. Ponadto mam \(\displaystyle{ 2[EFGH] = [ABCD]}\) może podpowiesz coś więcej?

smigol · Post autor: **smigol** » 25 paź 2010, o 22:24

adriano1992 pisze:no dobrze. Ponadto mam \(\displaystyle{ 2[EFGH] = [ABCD]}\) może podpowiesz coś więcej?

A to skąd? I po co przede wszystkim?

Wimy już, że \(\displaystyle{ \left[ ABCD \right] \le \frac{(|AB| + |CD|)(|BC| + |DA|)}{4}}\) no, ale jeśli ABCD jest wypukły, to równoległobok EFGH zawiera się w ABCD zatem nie może mieć większego pola od ABCD.

Jeśli ABCD jest wklęsły, to teza raczej nieprawdą jest.

timon92 · Post autor: **timon92** » 26 paź 2010, o 15:32

smigol pisze:
adriano1992 pisze:Wimy już, że \(\displaystyle{ \left[ ABCD \right] \le \frac{(|AB| + |CD|)(|BC| + |DA|)}{4}}\) no, ale jeśli ABCD jest wypukły, to równoległobok EFGH zawiera się w ABCD zatem nie może mieć większego pola od ABCD.

wszystko fajnie, tylko że \(\displaystyle{ EG \cdot FH}\) nie jest polem czworokąta \(\displaystyle{ EFGH}\)

smigol · Post autor: **smigol** » 26 paź 2010, o 15:40

Bzdury tu były duże ;p

timon92 · Post autor: **timon92** » 26 paź 2010, o 15:58

co do rozwiązania: pokaż, że \(\displaystyle{ EG \le \frac{BC+ DA}{2}}\)