Wpisywanie kół w trójkąt równoboczny i obliczanie ich pola

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
aneta95xx
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 30 sty 2010, o 17:35
Płeć: Kobieta
Podziękował: 1 raz

Wpisywanie kół w trójkąt równoboczny i obliczanie ich pola

Post autor: aneta95xx »

W trójkąt równoboczny o boku 10dm wpisano trzy przystające koła, styczne do siebie i boków trójkąta. Oblicz pole jednego takiego koła .
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

Wpisywanie kół w trójkąt równoboczny i obliczanie ich pola

Post autor: lukasz1804 »

Wystarczy sporządzić rysunek i spojrzeć na dowolne dwa z trzech narysowanych kół.
Oznaczmy promień każdego z nich przez \(\displaystyle{ r}\).
Poprowadź ze środków obranych okręgów promienie do tego samego boku trójkąta. Połącz też środki tych okręgów z tymi wierzchołkami trójkąta stanowiącymi końce tego co wyżej boku trójkąta, które leżą bliżej środka tego okręgu. Połącz wreszcie odcinkiem środki obranych okręgów.
Zauważysz, że powstanie wówczas trapez równoramienny, w którym dłuższą podstawą jest ustalony bok trójkąta, krótszą podstawą jest odcinek łączący środki okręgów, a ramionami są odcinki łączące środki okręgów z odpowiednimi wierzchołkami trójkąta.
Co więcej, odcinki ostatnio wspomniane są zawarte w dwusiecznych kątów wewnętrznych trójkąta, więc kąt ostry w powstałym trapezie ma miarę \(\displaystyle{ 30^o}\).
Zauważ teraz jeszcze, że obrany bok trójkąta (dłuższa podstawa w trapezie) został podzielony na 3 odcinki, z których środkowy ma długość \(\displaystyle{ 2r}\) (okręgi są styczne zewnętrznie). Dwa skrajne mają zatem długość \(\displaystyle{ 5\ dm-r}\) każdy.
Z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym (jednym z dwóch, powstałych po podziale trapezu wysokościami długości \(\displaystyle{ r}\)) mamy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}=\tg 30^o=\frac{r}{5-r}}\). Stąd \(\displaystyle{ 5\sqrt{3}-r\sqrt{3}=3r}\), tj. \(\displaystyle{ r=\frac{5\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}\).

Wystarczy teraz usunąć z mianownika powstałą niewymierność i skorzystać ze wzoru na pole koła (w podanej lub odwrotnej kolejności - wedle uznania).
ODPOWIEDZ