Okrąg wpisany w kwadrat...

[Danio126p]

W kwadrat o boku a wpisano okrąg. Następnie dorysowano okrąg styczny do dwóch boków kwadratu i okręgu. Oblicz stosunek promieni okręgu dużego do małego.

[florek177]

Połowa przekątnej: \(\displaystyle{ R + 2r + x = \sqrt{2} R \,\,}\) ; oraz \(\displaystyle{ \,\, r + x = \sqrt{2} r}\)

z tego wyznacz \(\displaystyle{ \frac{R}{r}}\)

[daniello]

Ciężko będzie bez obrazka, ale sprobojmy tak... rysujemy kwadrat ABCD i przyjmujemy długośc jego boku a, rysujemy okrąg o środku O wpsiany w kwadrat, jego promień R będzie wynosił - wiadomo - a/2 w jednym z rogów kwadtaru ABCD - powiedzmy ze przy A rysujemy mały okrąg.

dalej rysujemy przekątną AC - która zawiera w sobie średnice dużego i małego okręgu i jeszcze coś wystaje .. to coś nazwijmy bokiem AE
..teraz narysujmy sobie jeszcze mały kwadracik w rogu dużego kwadratu (przy A) który powstaje z dwóch promieni małego okręgu stycznych do boków AD i AB oraz rogu dużego kwadratu. Przyjmijmy ze mały okrąg ma promien x, i tyle samo będzie wynosiła długośc boku małego kwadratu.
...dalej juz pójdzie łatwo...
bo jeśli rozpatrzymy długośc odcinka AE, to możemy ją policzyć na dwa sposoby:
1) połowa przekątnej kwadratu - promień dużego okręgu (pamietając że a = 2R)
2) przekątna małego kwadratu + promień małego okręgu

dalej trzeba sobie tylko przeliczyć...

mi by sie nie chciało tego czytać ;p