Geometria , okręgi wpisane opisane na czworokącie, trapezy

[Kamillsm34]

1. Wykaż, że jeżeli w równoległobok można wpisać okrąg, to ten równoległobok jest rombem.

2.W trapezie ABCD, gdzie
AB II DC, ,można wpisać okrąg. Wykaż, że jeśli punkt O jest środkiem tego okręgu, to trójkąty AOD i COB są prostokątne.

3. W trapezie równoramiennym jedna podstawa jest trzy razy dłuższa od drugiej, a długość drugiej podstawy jest połową długości ramienia. Wykaż, że w ten trapez można wpisać okrąg.

4.Iloczyn długości promienia okręgu wpisanego w kwadrat i promienia okręgu opisanego na kwadracie wynosi √2. Oblicz długośc boku kwadratu.

[agulka1987]

3.
Aby w trapez możnabyło wpisać okrąg to suma długości podstaw musi być równa sumie długości ramion a+b=2c

\(\displaystyle{ a=3b}\)
\(\displaystyle{ c=2b}\)

\(\displaystyle{ a+b=2c\\
3b+b = 2 \cdot 2b\\
4b=4b}\)

Jak widać sumy długości podstaw i ramion sa takie same, a więc w trapez mozna wpisac okrąg.

4.

\(\displaystyle{ R \ cdot r = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ R=\frac{1}{2}d = \frac{1}{2}a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{1}{2}a}\)

\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}a = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a^2\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ a^2=4 \Rightarrow a=2}\)

[Kamillsm34]

Dziekuje Ci bardzo! Prosiłbym jeszcze kogoś o te dwa pozostałe zadania... Siedzę dziś cały dzień nad tym.